Homályos készlet
Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. szeptember 10-én felülvizsgált
verziótól ; az ellenőrzéshez
1 szerkesztés szükséges .
A homályos halmaz (néha fuzzy [1] , ködös [2] , bolyhos [3] ) egy olyan fogalom, amelyet Lotfi Zadeh 1965 - ben vezetett be a "Fuzzy Sets" című cikkében az Information and Control [4] folyóiratban , amivel kibővítette a klasszikus halmaz fogalmát , feltételezve, hogy egy halmaz karakterisztikus függvénye (Zade a fuzzy halmaz tagsági függvényének nevezi ) bármilyen értéket felvehet az intervallumban , nem csak a vagy értékeket . Ez a fuzzy logika alapfogalma .
![[0, 1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
![egy](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
Elavult név: homályos halmaz [5] [6] ,
Definíció
A fuzzy halmaz egy univerzális halmaz elemeiből és a megfelelő tagsági fokokból álló rendezett párok halmaza :
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![\mu _{A}(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd1284e935a6ee06db4d5546003e89f3dc97ff5)
![A=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in X\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0edb718cd0be92b12765bbfa1e4238a549d3ec89)
,
továbbá egy tagsági függvény (a közönséges crisp halmazok karakterisztikus függvénye fogalmának általánosítása ), amely azt jelzi, hogy egy elem milyen mértékben (mértékben) tartozik egy fuzzy halmazhoz . A függvény értéket vesz fel valamilyen lineárisan rendezett halmazban . A készletet tartozékok készletének nevezzük , gyakran egy szegmenst választanak ki szegmensként . Ha (vagyis csak két elemből áll), akkor a fuzzy halmaz közönséges crisp halmaznak tekinthető.
![\mu _{A}(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd1284e935a6ee06db4d5546003e89f3dc97ff5)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
![M](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f82cade9898ced02fdd08712e5f0c0151758a0dd)
![[0, 1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![M=\{0,1\}\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9d99d6b186e439b075903557d007097ebf69d53)
Alapdefiníciók
Legyen egy fuzzy készlet az univerzális készlet elemeivel és egy kiegészítő készlettel . Akkor:
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![X\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc79117d8c6d65d4553096a775787270fa14a09)
![M=[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27b72eed1a041bb45eb36f141bc163e4f962183)
- egy fuzzy halmaz hordozója ( tartója ) a halmaz ;
![{\displaystyle \operatorname {supp} A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c5097365473238f7b1f47ac3aa956a7cc6e8d28)
![\{x\mid x\in X,\mu _{A}(x)>0\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/153292b17e1016ba1b109a2f1bc236f7881bccc8)
- az értéket a fuzzy halmaz magasságának nevezzük . A fuzzy halmaz akkor normális , ha magassága . Ha a magasság szigorúan kisebb , mint , a fuzzy halmazt szubnormálisnak nevezzük ;
![\sup _{{x\in X}}\mu _{A}(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566a5de657a4f7024bcf43863cc62569222d61fa)
![A\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7b748a827a7c1228bb9bf8df852ac3b9929096)
![egy\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c9e64d6aa790731df88a02cc0d018cce78b87)
![egy\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b98c9e64d6aa790731df88a02cc0d018cce78b87)
- fuzzy halmaz üres, ha . Egy nem üres szubnormális fuzzy halmaz normalizálható a képlettel
![\forall x\in X:\mu _{A}(x)=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e50f7ddb83c181dbac8fb93e02ecdd2ee6a836d)
;
- fuzzy halmaz unimodális , ha csak az egyiken ;
![\mu _{A}(x)=1\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db56b80267fb67f80868d5cae54ff05ed960c69e)
![x\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf17264a35330beeb310c35f9676cf9837482e3)
![X\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fc79117d8c6d65d4553096a775787270fa14a09)
- olyan elemeket , amelyeket a fuzzy halmaz átmeneti pontjainak nevezünk .
![x\X-ben](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
![{\displaystyle \mu _{A}(x)=0{,}5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7280c288e6ef909db86d837a97343d99a746c3e3)
![A\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7b748a827a7c1228bb9bf8df852ac3b9929096)
Fuzzy halmazok összehasonlítása
Legyen és az univerzális halmazon definiált fuzzy halmazok .
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
szerepel a -ban , ha a halmazhoz tartozó tagsági függvény bármely eleme kisebb vagy egyenlő értéket vesz fel, mint a halmaz tagsági függvénye :
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![x](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68baa052181f707c662844a465bfeeb135e82bab)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
.
- Ha a feltétel nem mindenre teljesül , akkor a fuzzy halmaz szerepeltetési fokáról beszélünk , amit a következőképpen definiálunk:
![{\displaystyle \mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a5119a880665e957fa11f38aa7a1c3b311d455d)
![x\X-ben](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
, hol .![{\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x),\mu _{A}(x)>0\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/503fb4a6b2f20ecaa4f6d79ef5a72fc3469b88ba)
- Két halmazt egyenlőnek mondunk , ha benne vannak egymásban:
.
- Ha a tagsági függvények értékei és közel egyenlőek egymással, akkor a fuzzy halmazok egyenlőségi fokáról beszélünk, és például a formában
![\mu _{A}(x)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6bd1284e935a6ee06db4d5546003e89f3dc97ff5)
![{\displaystyle \mu _{B}(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b40d6e67969a052a443dbbcf7d850d4e58838cd6)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
, hol .![{\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\neq \mu _{B}(x)\))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48fd5fb8d361b4987d44bc64ce910b18bdbca1db)
A fuzzy halmazok tulajdonságai
A fuzzy halmaz szelete , jelölése : a következő egyértelmű halmaz:
![A\subseteq X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1dce86da0107830a9a97287f9486d9b4ff022875)
![A_{\alpha}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7bce019389c665fc524839b04cf9674ce661d4c3)
![{\displaystyle A_{\alpha }=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)\geqslant \alpha \))](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/63e7ace32613dcd9c9fca970c1b3763abf732c07)
,
azaz a következő jellemző függvény (tagsági függvény) által meghatározott halmaz:
Egy fuzzy halmaz -szeletére a következő következtetés igaz:
![\alpha](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
![{\displaystyle \alpha _{1}<\alpha _{2}\Rightarrow A_{\alpha _{1}}\supset A_{\alpha _{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/05233c8b0ce79da862cc692e87a2a7daa3999590)
.
Egy fuzzy halmaz akkor és csak akkor konvex , ha a következő feltétel teljesül:
![{\displaystyle A\subseteq \mathbf {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0079229156ad3ec5f6096cc2aca8f23b697cb97a)
bármely és .
![{\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbf {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f44a73a463914a4a9e732d52392496b12f165ba)
![{\displaystyle \gamma \in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc65bc4fa0e25a8305259b234865def64ac1a8a)
Egy fuzzy halmaz akkor és csak akkor konkáv , ha a következő feltétel teljesül:
![{\displaystyle A\subseteq \mathbf {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0079229156ad3ec5f6096cc2aca8f23b697cb97a)
bármely és .
![{\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbf {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f44a73a463914a4a9e732d52392496b12f165ba)
![{\displaystyle \gamma \in [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbc65bc4fa0e25a8305259b234865def64ac1a8a)
Műveletek fuzzy halmazokon
Sok kiegészítővel
- A fuzzy halmazok metszéspontja egy fuzzy részhalmaz egy tagsági függvénnyel, amely a tagsági függvények minimuma, és :
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
.
- A fuzzy halmazok szorzata egy tagsági függvénnyel rendelkező fuzzy részhalmaz
:
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
.
- A fuzzy halmazok uniója egy fuzzy részhalmaz, amelynek tagsági függvénye a tagsági függvények maximuma, és :
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
.
- A fuzzy halmazok összege egy fuzzy részhalmaz egy tagsági függvénnyel:
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7daff47fa58cdfd29dc333def748ff5fa4c923e3)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
.
- Egy halmaz negációja egy tagsági függvénnyel rendelkező
halmaz :
![A\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d7b748a827a7c1228bb9bf8df852ac3b9929096)
![\overline A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92efef0e89bdc77f6a848764195ef5b9d9bfcc6a)
mindenkinek .![x\X-ben](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e580967f68f36743e894aa7944f032dda6ea01d)
A műveletek alternatív ábrázolása fuzzy halmazokon
Crossing
Általánosságban elmondható, hogy a fuzzy halmazok metszéspontjának műveletét a következőképpen határozzuk meg:
![{\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=T(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85977486230da163a32e7d884a0f1f3c3f650b64)
,
ahol a függvény az úgynevezett T-norma . Az alábbiakban konkrét példák találhatók a T-norma végrehajtására :
![T](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec7200acd984a1d3a3d7dc455e262fbe54f7f6e0)
Konszolidáció
Általános esetben a fuzzy halmazok kombinálásának műveletét a következőképpen határozzuk meg:
![{\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=S(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/649534e048266e677646d76288c823c00606da55)
,
ahol a függvény a T-konormája . Az alábbiakban konkrét példák találhatók az S-norma megvalósítására :
![S](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4611d85173cd3b508e67077d4a1252c9c05abca2)
Összefüggés a valószínűségszámítással
A fuzzy halmazok elmélete bizonyos értelemben a véletlenhalmazok elméletére és így a valószínűség elméletére redukálódik . A fő gondolat az, hogy a tagsági függvény értéke felfogható annak valószínűségeként, hogy egy elemet lefed valamilyen véletlenszerű halmaz .
![\mu _{A}(x)\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00e3d8af0e926e1b59c9407ac9fb1c3c29884746)
![x\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bf17264a35330beeb310c35f9676cf9837482e3)
![B\](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5533d5870fb8d47f6a7308722dc11e285cc3b760)
A gyakorlati alkalmazásban azonban a fuzzy halmazelmélet apparátusát általában önállóan használják, versenytársaként a valószínűségszámítás és az alkalmazott statisztika apparátusának . Például a vezérléselméletben van egy irány, amelyben fuzzy halmazokat (fuzzy vezérlőket) használnak a valószínűségszámítás módszerei helyett a
szakértői vezérlők szintetizálására .
Példák
Legyen:
- sok
![X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/464369f9de025e5992562c9330ce619f3b9fe48e)
- sok kiegészítő
![M=[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c27b72eed1a041bb45eb36f141bc163e4f962183)
és két fuzzy részhalmaz![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
A fő műveletek eredményei:
- útkereszteződés:
![{A\cap B}=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}={B}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1f3a7c08c5a0347e49dc998179af6f716af133)
- egy egyesület:
![{A\cup B}=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{ 4}\mid 1)\}={A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d506ccf1b7b7c0bd2040435fe89af024206fdfc)
Jegyzetek
- ↑ A Grúz SSR Tudományos Akadémiájának értesítője . - Akadémia, 1974. - S. 157. - 786 p. Archiválva : 2017. április 4. a Wayback Machine -nél
- ↑ Kozlova Natalya Nikolaevna. Színes világkép nyelven // Uchenye zapiski Zabaikal'skogo gosudarstvennogo universiteta. Sorozat: Filológia, történelem, orientalistika. - 2010. - Kiadás. 3 . — ISSN 2308-8753 . Archiválva az eredetiből 2017. április 4-én.
- ↑ Kémia és élet, XXI. század . - Vállalat "Kémia és Élet", 2008. - S. 37. - 472 p. Archiválva : 2017. április 4. a Wayback Machine -nél
- ↑ Lotfi A. Zadeh A komplex rendszerek és döntéshozatali folyamatok elemzésének új megközelítésének alapjai (angolból fordította: V. A. Gorelik, S. A. Orlovsky, N. I. Ringo) // Mathematics Today. - M., Tudás, 1974. - p. 5-48
- ↑ Leonenkov A. V. Fuzzy modellezés MATLAB és fuzzyTECH környezetben. Szentpétervár: BKhV�Peterbur, 2005. 736 p.: ill. ISBN 5.94157.087.2
- ↑ A. M. Shirokov. Az akvizícióelmélet alapjai . - Tudomány és technika, 1987. - S. 66. - 190 p. Archiválva : 2021. április 18. a Wayback Machine -nél
Irodalom
- Zadeh L. A nyelvi változó fogalma és alkalmazása közelítő döntések meghozatalára. - M . : Mir, 1976. - 166 p.
- Orlov AI Optimalizálási problémák és fuzzy változók . - M .: Tudás, 1980. - 64 p.
- Kofman A. Bevezetés a fuzzy halmazok elméletébe. - M . : Rádió és kommunikáció, 1982. - 432 p.
- Fuzzy halmazok és lehetőségelmélet: legújabb fejlemények / R. R. Yager. - M . : Rádió és kommunikáció, 1986.
- Zadeh LA Fuzzy készletek // Információ és vezérlés. - 1965. - T. 8 , 3. sz . - P. 338-353.
- Orlovsky SA Döntéshozatali problémák homályos kezdeti információkkal. — M .: Nauka, 1981. — 208 p. - 7600 példány.
- Orlov A. I. , Lutsenko E. V. Rendszer fuzzy intervallum matematika. — Monográfia (tudományos kiadás). - Krasznodar, KubGAU. 2014. - 600 p. [egy]