Phragmen–Lindelöf-tételek a reguláris függvények növekedéséről

A reguláris függvények növekedésére vonatkozó Phragmen-Lindelöf-tételek olyan állítások, amelyek szerint egy komplex változó függvénye , amely valamilyen végtelen tartományban reguláris és ben folytonos , és a tartomány határára is korlátozódik , vagy mindenhol belül vagy belül korlátos, elég gyorsan növekszik. minél "gyorsabb", annál kisebb a terület . $F z)$ $D$ $\overline {D}$ $\ részleges D$ $D$ $\overline {D}$ $D$ $D$

A Phragmen-Lindelöf felső félsík tétel

Legyen a függvény reguláris a félsíkban és folytonos a félsíkban , és , . Ekkor vagy mindenre , vagy a függvénynek a félsíkban a sorrendje nem kisebb, mint egység. $F z)$ $Rez>0$ $Rez\geqslant 0$ $\mid F(iy)\mid <C_{0}$ $-\infty <y<\infty$ $\mid F(z)\mid <C_{0}$ $z$ $Rez\geqslant 0$ $F z)$ $Rez\geqslant 0$ $\rho$

Magyarázatok

Egy számot a teljes függvény sorrendjének nevezünk, ha . Más szavakkal, egy egész függvénynek van sorrendje , ha létezik olyan állandó és pozitív számokra növekvő sorozat , hogy $\rho$ $F z)$ $\rho =\varlimsup _{t\to \infty }{\frac {\ln \ln M_{F}(r)}{\ln r))$ $\rho$ $\epsilon > 0$ ${\displaystyle C_{\epsilon ))$ $\infty$ ${\displaystyle r_{k))$

\max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(re^{i\varphi })\mid \leqslant C_{\epsilon }exp(r^{\rho +\epsilon } )

$r>0$ ,

\max _{0\leqslant \varphi \leqslant 2\pi }\mid F(r_{k}e^{i\varphi })\mid \geqslant C_{\epsilon }exp(r_{k}^ {\rho +\epsilon })

$k=1,2,$ .

Bizonyítás

A bizonyíték a [1] könyvben található .

Jegyzetek

↑ Függvényinterpolációs módszerek és egyes alkalmazásaik, 1971 , p. 37.

Irodalom

Ibragimov II Függvényinterpolációs módszerek és egyes alkalmazásaik. — M .: Nauka, 1971. — 518 p.