Kelvin tételei

A hidrodinamikában a Kelvin-tétel alatt általában a Kelvin főtételét jelentik , azonban két másik Thomson (Kelvin) tétel is ismert .

Kelvin irrotációs mozgástétele

1849 -ben William Thomson bebizonyította egy folyadék minimális kinetikus energia tételét :

ha valamely egyszerűen összefüggő tartomány határán az örvénymozgás egybeesik a forgató mozgással , akkor a vizsgált tartományban az örvénymozgás kinetikus energiája kisebb, mint az örvénymozgás kinetikai energiája.

Kelvin első tételének bizonyítása

Kelvin tétele igazolható abból a tényből kiindulva, hogy a forgómozgás sebessége potenciális ( v = gradφ), és hogy egy összenyomhatatlan folyadék sebességének divergenciája nulla, mind irrotációs, mind örvénymozgás esetén. Valóban, Δ Valami = Valami forogjon. - Valami forgószél nélkül. . Ekkor a kinetikus energiák különbségére a következőket írhatjuk:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }[(\mathbf {V} +\mathbf {\Delta \!V} )^{2 }-V^{2}]d\tau =\rho \iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau +{\frac {\rho }{2)) \iiiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau ,

ahol ρ a folyadék sűrűsége és τ a folyadék térfogata . Tekintsük tovább csak a jobb oldali első integrált:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operátornév {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau ,

és mivel div(φ a ) = φ div a + gradφ a , az integrál a következőképpen transzformálható:

\iiiint \limits _{\tau }\mathbf {V\,\Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operátornév {grad} \varphi \cdot \mathbf {\ Delta \!V} d\tau =\iiint \limits _{\tau }\operatorname {div} (\varphi \mathbf {\Delta \!V} )d\tau -\iiint \limits _{\tau }\ varphi \operatorname {div} (\mathbf {\Delta \!V} )d\tau =\iint \limits _{\sigma }\varphi (\mathbf {\Delta \!V} )_{n}d\sigma -\iiiint \limits _{\tau }\varphi \Delta \!(\operátornév {div} \mathbf {V} )d\tau ,

ahol σ a τ térfogatot határoló felület, az n index pedig a vektor normálkomponensét jelöli. A tétel feltételeiből az következik, hogy a σ felületen az örvény- és irrotációs mozgások egybeesnek, azaz ΔV = 0, ráadásul a div V = 0 összenyomhatatlansági feltétellel. Így az utolsó egyenlőségben minden tag egyenlő nullával és a kinetikus energiák különbségére kiderül:

\Delta \!T={\frac {\rho }{2}}\iiint \limits _{\tau }|\mathbf {\Delta \!V} |^{2}d\tau >0,

amelyből a Kelvin-tétel következik.

Kelvin kinematikai tétele

Kelvin kinematikai tétele lehetővé teszi egy örvénycső viselkedésének időben történő előrejelzését tisztán kinematikai szempontból. A tétel megfogalmazása a következő:

a zárt folyadékkör menti sebességkeringés részleges idejű deriváltja megegyezik az ugyanazon a körön keresztüli gyorsulási cirkulációval .

Kelvin második tételének bizonyítása

Számítsuk ki egy tetszőleges C körvonal mentén a sebesség keringésének részidő deriváltját anélkül, hogy először azt feltételeznénk, hogy az zárt.

{\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int \limits _{C}\mathbf {V\delta r} =\int \limits _{C}{\frac {d} {dt))(\mathbf {V\cdot \delta r} )=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt))\cdot \mathbf {\delta r} + \int \limits _{C}\mathbf {V\cdot {\frac {d}{dt))(\delta r)} =\\=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf { V} }{dt))\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \delta \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt }}\right)=\int \limits _{C}{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\cdot \mathbf {\delta r} +\int \limits _{C}\delta \ balra({\frac {V^{2}}{2}}\jobbra).\end{igazított}}

Nyilvánvalóan, ha az áramkör zárva van, az utolsó integrál is eltűnik. Ilyen módon:

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\pont {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =\Gamma _{C}(\mathbf {\pont { V}} ).

Kelvin barotrop folyadék tétele

A Kelvin-féle barotrop folyadéktételt Kelvin-féle alaptételnek is nevezik , amely alátámasztja az irrotációs mozgás létezésének lehetőségét:

amikor egy barotrop ideális folyadék potenciális erők hatására mozog , a zárt folyadékkörben a keringési sebesség nem változik.

Kelvin harmadik tételének bizonyítása

A tétel könnyen bebizonyítható az előző tétel alapján, ha a kifejezés jobb oldalára behelyettesítjük a gyorsulást potenciális erők esetén : $\mathbf {\pont {V}}=-\operátornév {grad} \Pi$

{\frac {d}{dt}}\Gamma _{C}(\mathbf {V} )={\frac {d}{dt}}\oint \limits _{C}\mathbf {V} \cdot \mathbf {\delta r} =\oint \limits _{C}\mathbf {\pont {V)) \cdot \mathbf {\delta r} =-\oint \limits _{C}\operátornév {grad } \Pi \cdot \delta \mathbf {r} =-\oint \limits _{C}\delta \Pi =0,

tehát állandó. $\Gamma$

A tételt W. Thomson fogalmazta meg és bizonyította 1869 -ben . A Kelvin-tétel differenciálformája az örvényegyenlet .

Irodalom

Loytsyansky L.G. Folyadék- és gázmechanika. - 7. kiadás, Rev. - M . : Túzok, 2003. - 840 p. - (Az orosz tudomány klasszikusai). — ISBN 5-7107-6327-6 .
Sychev V. V., Bashkin V. A. Ch. I. // Előadások az elméleti hidrodinamikáról. - M. : MIPT, 2003. - 188 p. — ISBN 5-7417-0222-8 .