Lefschetz szám

Lefschetz szám
Valaki után elnevezve	Solomon Lefschetz
Aki bebizonyította	Solomon Lefschetz

A Lefschetz-szám a topológiai tér önmagába való leképezésére jellemző egész szám .

Definíció

Legyen topológiai tér, folytonos térkép és homológiacsoportok együtthatókkal a mezőben . Legyen egy lineáris transzformáció nyoma $x$ $f:X\-X$ $H_{*}(X,k)$ $x$ $k$ $t_{n}$

f_{*}:H_{n}(X,k)\–H_{n}(X,k)

Definíció szerint a leképezés Lefschetz- száma $f$

{\displaystyle \Lambda (f,X)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}t_{n))

Tulajdonságok

A Lefschetz-szám akkor van megadva, ha a csoportok teljes rangja véges, és ebben az esetben nem függ a választásától . $H_{*}(X,k)$ $k$

Az azonosságleképezés Lefschetz-száma megegyezik az Euler-karakterisztikával . $x$

Lefschetz formula

Legyen egy összefüggő orientálható -dimenziós kompakt topológiai sokaság vagy -dimenziós véges cella komplex , legyen folyamatos leképezés. $x$ $n$ $n$ $f:X\-X$

Tegyük fel, hogy a térkép minden rögzített pontja elszigetelt. $f:X\-X$

Minden fix pontnál a Kronecker -indexével jelöljük (a leképezés lokális foka a pont közelében ). Ekkor a Lefschetz-képletnek és az alakja van $x\X-ben$ $i(x)$ $f$ $x$ $x$ $f$

\sum _{{\{x|f(x)=x\}}}i(x)=\Lambda (f,X).

Különösen, ha egy véges cellakomplexum leképezésének nincsenek fix pontjai, akkor Lefschetz-száma egyenlő nullával.

Történelem

Ezt a képletet először Lefschetz határozta meg véges dimenziós, orientálható topológiai sokaságokra, majd később véges sejtkomplexekre. Lefschetz ezeket a dolgozatait megelőzte Brouwer 1911-es dolgozata egy dimenziós gömb önmagába való folyamatos leképezésének fix pontjáról . $n$

Jegyzetek

Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4501113-8