Parseval tétele

Parseval tételét általában a Fourier-transzformáció egységeként értelmezik . Vagyis a függvény négyzetének összege (vagy integrálja) egyenlő a transzformáció eredményének négyzetének összegével (vagy integráljával). Meg kell jegyezni, hogy a Parseval-tétel általános formáját gyakran Plancherel-tételnek vagy általánosított Rayleigh-képletnek nevezik . A tételt Marc-Antoine Parseval bizonyította sorozatokra 1799 -ben, majd később Fourier -sorokra is alkalmazta .

A tételnek megvan a formája

\int \limits _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }|{\mathcal { F}}\{x(t)\}|^{2}dw,

ahol egy folyamatos Fourier-transzformációt jelöl , amely egy időbeli vagy térbeli jelet a frekvenciatartománybeli reprezentációjához kapcsol . $\mathcal{F}\{\cdot\}$ $x(t)$ $X(f)$

A Parseval-tétel általánosabb és pontosabb megfogalmazása a Fourier-integrál elméletében így néz ki. Legyenek a és a függvények a négyzetesen integrálható függvények terébe, és legyenek azok Fourier transzformációi, ill. Akkor: [1] $f_{1}(x)$ $f_{2}(x)$ $L^{2}$ $g_{1}(u)$ $g_{2}(u)$

\int _{-\infty }^{\infty }g_{1}(u)g_{2}(u)du=\int _{-\infty }^{\infty }f_{1}( x)f_{2}(-x)dx

Diszkrét formában a tételt a következőképpen írjuk fel:

\sum_{i=0}^{N-1} | x(i) |^2 = {1\over N} \sum_{k=0}^{N-1} | X(k) |^2

ahol egy mintával rendelkező jel diszkrét Fourier-transzformációja . $X(k)$ $x(k)$ $N$

Parseval tétele egyenlőséget állapít meg egy jel energiája és spektrumának energiája között.

A Parseval-tételt bemutató MATLAB kódpélda

N = 100 ; %-os minták száma x = randn ( 1 , N ); % normális eloszlás Et = norma ( x ) ^ 2 ; % vagy így: Et = összeg(x.^2); fprintf ( 'Időtartomány jelenergia:%f \n' , Et ); X = fftn ( x ); Ew = 1 / N * norma ( X ) ^ 2 ; % vagy így: Ew = 1/N * összeg(absz(X).^2); fprintf ( 'Frekvenciatartomány jelenergia:%f \n' , Ew ); xnew = ifftn ( X ); Etn = norma ( xúj ) ^ 2 ; % vagy így: Etn = sum(xnew.^2); fprintf ( 'Időtartomány jelenergia:%f \n' , Etn ); A program eredménye ------------------------------ Időtartomány jelenergia : 94.236108 Frekvenciatartomány jelenergia : 94.236108 Időtartomány jelenergia : 94.236108 _ _ _ _ _ _

Jegyzetek

↑ N. Wiener Fourier transzformáció a komplex tartományban. - M., Nauka, 1964. - p. tizenegy

Irodalom

Baskakov, S. I. Rádiótechnikai áramkörök és jelek. - 3. kiadás - M . : "Felsőiskola", 2000. - 462 p. — ISBN 5-06-003843-2 .
Gonorovsky, I. S. Rádiótechnikai áramkörök és jelek. - 4. kiadás - M . : "Rádió és kommunikáció", 1986. - 512 p.

Parseval tétele

Jegyzetek

Irodalom

Lásd még