Moore-féle hányados tértétel

Moore hányadostér-tétele, a kétdimenziós topológia klasszikus állítása, elegendő feltételt ad arra, hogy egy gömb hányadostere homeomorf egy kétdimenziós gömbhöz.

Robert Moore bizonyította 1925 - ben .

Formulációk

Legyen egy kétdimenziós gömb szürjektív folyamatos leképezése egy Hausdorff-térre . Tételezzük fel, hogy bármely pontban az előkép és a komplementere összefügg . Ekkor homeomorf , ráadásul a leképezés a homeomorfizmusok határa . $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ $\mathbb {S} ^{2}$ $x$ $x\X-ben$ ${\displaystyle f^{-1}\{x\))$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\backslash f^{-1}\{x\))$ $x$ $\mathbb {S} ^{2}$ $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ $f_{n}\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$

Jegyzetek

A tétel ekvivalens megfogalmazása az ekvivalenciareláció nyelvén a -n . A leképezés egy ekvivalencia relációt definiál -on , a következőképpen definiálva $\mathbb {S} ^{2}$ $f\colon \mathbb {S} ^{2}\to X$ $\sim$ $\mathbb {S} ^{2}$

x\sim y\iff f(x)=f(y).

Az ekvivalenciaosztályok zárt halmazok félig folytonos családját alkotják. Vagyis ha , és bármelyik esetén , akkor . ${\displaystyle [x]=\{\,y\in \mathbb {S} ^{2}\mid x\sim y\,\))$ $x_{n}\to x$ $y_{n}\to y$ ${\displaystyle x_{n}\sim y_{n))$ $n$ $x\sim y$

Ha egy ekvivalencia reláció félfolytonos zárt ekvivalenciaosztályokkal, mint és bármely halmazhoz és össze vannak kapcsolva , akkor a hányadostér homeomorf . $\sim$ $\mathbb {S} ^{2}$ $x$ $[x]$ $\mathbb {S} ^{2}\backslash [x]$ $\mathbb {S} ^{2}/\sim$ $\mathbb {S} ^{2}$

Változatok és általánosítások

A szoros homeomorfizmus létezéséhez szükséges magasabb dimenziókban a sokaságból a Hausdorff-térbe történő szurjektálásnak sejtesnek kell lennie . Ez azt jelenti, hogy bármely ponthoz és bármely nyitott halmazhoz , amely előképet tartalmaz , találhatunk egy zárt halmazt , amely homeomorf egy labdára, úgy, hogy . $f\colon M\to X$ $M$ $x$ $x\X-ben$ $U$ ${\displaystyle f^{-1}\{x\))$ $B$ $f^{-1}\{x\}\subset B\subset U$

Irodalom

RL Moore. Continua felső-félfolytonos gyűjteményeihez (angol) // Trans. amer. Math. Szoc.. - 1925. - 1. köt. 25 . — P. 416–428 .
Daverman, Robert J. Decompositions of sokaság. - Orlando, FL: Academic Press, Inc., 1986. - xii + 317 p. – (Tiszta és alkalmazott matematika, 124). - ISBN 978-0-8218-4372-7 .