Mori tétele

A Morrie törvénye a következő trigonometrikus azonosság véletlenszerű neve

\cos(20^{\circ })\cdot \cos(40^{\circ })\cdot \cos(80^{\circ })={\frac {1}{8)).

Ez az általánosabb identitás speciális esete

2^{n}\cdot \prod _{{k=0}}^{{n-1}}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\ alfa )}{\sin(\alpha )))

n = 3 és α = 20° esetén. A "Mori tétel" nevét Richard Feynmanről kapta , aki ezt az azonosságot ezen a néven használta. Feynman azért használta ezt a nevet, mert gyerekként egy Maury Jacobs nevű fiútól tanulta meg a megadott személyazonosságot, majd élete hátralévő részében ezen a néven emlékezett a tételre. [egy]

Hasonló összefüggés áll fenn a szinuszra is:

\sin(20^{\circ })\cdot \sin(40^{\circ })\cdot \sin(80^{\circ })={\frac {\sqrt {3}}{8 }}

Ezenkívül a második azonosságot elosztva az elsővel, megkapjuk az érintő azonosságát:

\operátornév {tg} (20^{\circ })\cdot \operátornév {tg} (40^{\circ })\cdot \operátornév {tg} (80^{\circ })={\sqrt {3}}=\operátornév {tg} (60^{\circ }).

Bizonyítás

A kettős szög szinuszára a jól ismert képletet használjuk

\sin(2\alpha )=2\sin(\alpha )\cos(\alpha ).

Innen kifejezve azt kapjuk $\cos(\alpha)$

\cos(\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )}{2\sin(\alpha ))).

Akkor van

{\begin{aligned}\cos(2\alpha )&={\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )))\\[6pt]\cos(4\alpha ) &={\frac {\sin(8\alpha )}{2\sin(4\alpha )}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\cos(2^{{n-1 }}\alpha )&={\frac {\sin(2^{{n}}\alpha )}{2\sin(2^{{n-1}}\alpha ))).\end{aligned} }

Ezeknek az egyenlőségeknek a bal oldali részét egymásra, a jobb oldali részeket pedig egymásra szorozva kapjuk:

\cos(\alpha )\cos(2\alpha )\cos(4\alpha )\cdots \cos(2^{{n-1}}\alpha )={\frac {\sin(2\alpha )} {2\sin(\alpha )}}\cdot {\frac {\sin(4\alpha )}{2\sin(2\alpha )))\cdot {\frac {\sin(8\alpha )}{ 2\sin(4\alpha )}}\cdots {\frac {\sin(2^{{n}}\alpha )}{2\sin(2^{{n-1}}\alpha ))).

A törtek csökkentése után lesz egy szinusz az utolsó számlálóból és egy szinusz az első nevezőből, valamint 2 az n hatványáig a nevezőben:

\prod _{{k=0}}^{{n-1}}\cos(2^{k}\alpha )={\frac {\sin(2^{n}\alpha )}{2^{ n}\sin(\alpha )}},

Ez az azonosság Mori tételének általános formája.

Jegyzetek

↑ W. A. Beyer, J. D. Louck és D. Zeilberger , Egy általánosítás egy érdekességről, amelyre Feynman egész életében emlékezett , Math. Mag. 69, 43-44, 1996.

Linkek

Weisstein, Eric W. Morrie törvénye (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .