Lagrange-tétel (számelmélet)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. december 3-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A számelméletben a Lagrange-tétel egy Joseph-Louis Lagrange- ről elnevezett állítás arról , hogy milyen feltételek mellett lehet egy egész együtthatós polinom értéke egy rögzített prímszám többszöröse .

Megfogalmazás

Ha egy prímszám , egy fokú polinom egész együtthatókkal , akkor [1] : $p$ $f(x)$ $n$

vagy minden együttható többszörös $f(x)$ $p;$
vagy az összehasonlításnak legfeljebb megoldása van. $f(x)\equiv 0{\pmod {p))$ $n$

Jegyzetek

Ha minden együttható többszörös , akkor bármely érték megoldása az adott összehasonlításra. $f(x)$ $p,$ $x$
A modul egyszerűsége elengedhetetlen; egy összetett modul esetében a tétel általában véve nem igaz. Például összehasonlítás: 4 megoldása van [2] : $p$ $x^{2}-1\equiv 0{\pmod {8}}$ $x\equiv 1;3;5;7{\pmod {8)).$

Lagrange-tétel bizonyítása

Legyen egy polinom a gyűrű felett, amelyet úgy kapunk, hogy minden együtthatót a megfelelő maradékosztály modulo -val helyettesítünk $g(x)$ $\mathbb {Z} /p$ $f(x)$ $p.$

Az 1. lemma akkor és csak akkor osztható Bizonyítás . Ha osztható akkor és konstrukcióval, a maradékok ugyanabba az osztályába esik, mint a nulla osztályba tartozó. És fordítva, ha ez a számítás egy olyan maradékosztályból ad eredményt, amely tartalmaz, azaz osztható ■ -vel $f(a)$ $p$ $g(a)=0.$ $f(a)$ $p,$ $g(a)$ $p,$ $g(a)=0,$ $f(a)$ $p,$ $p.$

2. lemma. Egy polinomnak , ha nem nulla polinom, nem lehet több gyöke. Bizonyíték. Mivel egy prímszám, egy mező , és bármely mezőben egy nem nulla fokos polinomnak legfeljebb gyöke van, mert minden gyök hozzáad egy monomit a polinom kiterjesztéséhez. $g(x),$ $n$ $p$ $\mathbb {Z} /p$ $n$ $n$ $r$ $(xr).$

A tétel bizonyítása . Ha nulla polinom, akkor ez konstrukciója szerint azt jelenti, hogy minden együttható többszörös , egyébként az első lemmából az következik, hogy az abszolút értékben összehasonlíthatatlan egyenlet megoldásainak száma egybeesik a polinom gyökeinek számával. amely a második lemma szerint nem haladja meg ■ $g(x)$ $f(x)$ $p.$ $n$ $f(x)\equiv 0{\pmod {p))$ $g(x).$ $n.$

Változatok és általánosítások

A Lagrange-tétel nemcsak az egész számok gyűrűje feletti polinomokra érvényes , hanem az integritás bármely más tartománya feletti polinomokra [3] . ${\mathbb {Z}),$

Jegyzetek

↑ Vinogradov, 1952 , p. 60.
↑ Davenport, 1965 , p. 55.
↑ Mathematical Encyclopedia, 1982 , p. 174.

Irodalom

Vinogradov I.M. A számelmélet alapjai. - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 60-65. — 180 s.
Davenport G. Felső aritmetika / szerk. Yu. V. Linnik , ford. B. Z. Moroz - M .: Nauka , 1965. - S. 54-55. — 176 p.
Lagrange-tétel // Matematikai enciklopédia (5 kötetben) . - M . : Szovjet Enciklopédia , 1982. - T. 3. - S. 174.