Cayley-tétel (csoportelmélet)

A csoportelméletben Cayley tétele kimondja, hogy bármely véges csoport izomorf az adott csoport elemeinek halmazának permutációs csoportjának valamelyik alcsoportjával . Ebben az esetben minden elemet összehasonlítunk az azonosság által adott permutációval, ahol g a G csoport tetszőleges eleme . $(G,\circ )$ $a\in G$ $\pi _{a}$ $\pi _{a}(g)=a\circ g,$

Bizonyítás

Legyen a sorrend véges csoportja . Egy izomorfizmust kell alkotnunk a permutációs alcsoportba . Ehhez elegendő, ha a G csoport minden g eleméhez hozzárendeljük magának a G elemeinek permutációját (a G permutációja azonosítható bármely másik halmaz permutációjával, elemeinek egy az egyben megfeleltetésével) . Más szavakkal, létre kell hoznia egy függvényt , ahol a G permutációinak gyűjteménye. A csoport meghatározása a bal oldali szorzás segítségével történik . $G$ $n$ $G$ $S_{n}$ $\varphi :G\rightarrow S_{G}$ $S_{G}$ $\varphi (g):G\rightarrow G$ $(\varphi (g))(x)=gx$

Bizonyítsuk be, hogy permutációt kaptunk. Ha , akkor , mivel G egy csoport, minden eleme invertálható (létezik ). Sőt, az x csoport egy elemére gyakorolt cselekvés egyenlő és ez egyenlő G asszociativitását tekintve. Végül, ha akkor és ezért injektív (1-1). $gx=gy$ $x=y$ $g^{{-1}}$ $\varphi (gh)$ $\ (\varphi (gh))(x)=(gh)x$ $\varphi (g)(\varphi (h)(x))=\varphi (g)(hx)=g(hx)$ $\varphi (g)=\varphi (h)$ $g=\varphi (g)(1)=\varphi (h)(1)=h$ $\varphi$

Példa

Tekintsünk egy csoportot egy adott művelettel. Keresse meg annak leképezését, azaz keressen egy izomorf részcsoportot ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4))$ $+.$ $S_{4},$ $S_{4},$ $G.$

Határozzuk meg a leképezést $\varphi :\mathbb {Z} _{4}\rightarrow S_{4}$

\varphi (0)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\0&1&2&3\end{bmátrix}}

\varphi (1)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\1&2&3&0\end{bmátrix}}

\varphi (2)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\2&3&0&1\end{bmátrix}}

\varphi (3)={\begin{bmatrix}0&1&2&3\\3&0&1&2\end{bmátrix}}

Ebben a konstrukcióban a permutáció mindegyikhez beállítja a "kiegészítő táblát" a számmal . Például a 2-es szám összege (csoportművelet ) 2 (ez a szám maga) és 1 (a csoport azon eleme, amelyhez a permutációt meghatározzák). Így meghatározza az identitásleképezést . $\varphi (n)$ $n$ $n$ $\varphi (1)$ ${\displaystyle G=\mathbb {Z} _{4))$ $\varphi (0)$ $\mathrm {id} _{G}(g)=g$

A leképezés homomorfizmus . Például, . Különösen a homomorfizmus tulajdonságaiból következik, hogy a kapott permutációk halmaza egy csoportot alkot. $\varphi$ $\varphi (1)^{2}=\varphi (2)=\varphi (1+1)$

Irodalom

Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra (2. kiadás), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 .
Aleksandrov PS Bevezetés a csoportelméletbe. Kvantum Könyvtár. Probléma. 7. M.: Nauka, 1980.