Ismétlődő képlet

Az ismétlődő képlet egy olyan képlet, amely a sorozat minden egyes tagját az előző tagok és a sorozat tagszáma alapján fejezi ki . $a_{n}=f(n,a_{n-1},a_{n-2},\dots ,a_{np})$ $a_n$ $p$ $n$

A rekurzív képleteket használó számítások általános problematikája a rekurzív függvények elméletének tárgya .

Az ismétlődő egyenlet egy olyan egyenlet, amely egy bizonyos numerikus sorozat több egymást követő tagját köti össze. Az ilyen egyenletet kielégítő sorozatot ismétlődő sorozatnak nevezzük .

Példák

A természetes szám faktoriális függvénye kielégíti az ismétlődő képletet: $n!={\begin{cases}1,&n=0;\\(n-1)!\cdot n,&n\geqslant 1.\end{cases))$

A Fibonacci-számokat a lineáris ismétlődő képlet adja meg : $F_{n}={\begin{cases}0,&n=0;\\1,&n=1;\\F_{n-1}+F_{n-2},&n\geqslant 2.\ vége{esetek}}$

Az integrál értéke kielégíti az ismétlődő képletet: $\textstyle I_{n}=\int \sin ^{n}x\,dx$ $I_{n}={\frac {-\cos x\cdot \sin ^{n-1}x}{n}}+{\frac {n-1}{n}}I_{n-2 }.$

A Bessel-differenciálegyenlet megoldása hatványsorként írható fel : $y''+(1/x)y'+(1-\nu ^{2}/x^{2})y=0$ $y=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{2n+\nu }.$

Az együtthatók meghatározásához elegendő azt megállapítani, hogy mindegyikre . Ezt követően azonnal megkapjuk a jól ismert eredményt:

a_n

4n(n+\nu )a_{n}+a_{n-2}=0

n\geq 1

a_{n}={\frac {(-1)^{n}a_{0}}{2^{2^{n}}n!(1+\nu )(2+\nu )\ cdots (n+\nu )}}.

Oldalhossz, ha megkétszerezzük egy szabályos n - szög oldalainak számát : $a_{2n}={\sqrt {2R^{2}-2R{\sqrt {R^{2}-{\frac {a_{n}^{2}}{4}}}}}} ,\qquad n\geq 2,$

ahol a körülírt kör sugara .

R

Lineáris ismétlődő egyenletek

A lineáris ismétlődő egyenlet állandó együtthatókkal a következőképpen alakul:

f_{n+r}+a_{1}f_{n+r-1}+a_{2}f_{n+r-2}+\ldots +a_{r}f_{n}=\varphi (n).

Itt vannak nem negatív egész számok, számsorozat, állandó számok, , adott függvénye . $n$ $f_{{n}}$ ${\displaystyle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r))$ $a_{{r}}\neq 0$ $\varphi (n)$ $n$

Homogén lineáris ismétlődő egyenletek

Tegyük fel, hogy egy számsorozat kielégít egy homogén lineáris ismétlődő egyenletet , ahol nem negatív egész számok vannak, állandó számokat és . $f_{0},f_{1},\dots$ $f_{n+r}+a_{1}f_{n+r-1}+a_{2}f_{n+r-2}+\ldots +a_{r}f_{n}=0$ $n$ ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{r))$ $a_{{r}}\neq 0$

Jelölje a sorozat generáló függvényével . Építsünk polinomot . Ezt a polinomot sorozatgeneráló függvénynek tekinthetjük . Tekintsük a függvények generálásának szorzatát . Az és együtthatót az összefüggés határozza meg, és egyenlő nullával. Ez azt jelenti, hogy a polinomnak legfeljebb foka van , tehát a racionális függvény számlálójának foka kisebb, mint a nevező foka. $F z)$ $f_{0},f_{1},\dots$ ${\displaystyle K(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\ldots +a_{r}z^{r))$ $1,a_{1},a_{2},\ldots ,a_{r},0,0,\dots$ $C(z)=F(z)K(z)$ $c_{{n+r}}$ $z^{{n+r}}$ $n\geq 0$ $c_{n+r}=f_{0}0+\ldots +f_{n-1}0+f_{n}a_{r}+\ldots +f_{n+r}1=f_{n +r}+a_{1}f_{n+r-1}+\ldots +a_{r}f_{n}$ $C(z)$ $r-1$ $F(z)={\frac {C(z)}{K(z)}}$

A lineáris ismétlődő egyenlet karakterisztikus polinomját polinomnak nevezzük . Ennek a polinomnak a gyökereit karakterisztikusnak nevezzük. A karakterisztikus polinom úgy ábrázolható, hogy , ahol különböző karakterisztikus gyökök, jellemző gyökök többszörösei, . ${\displaystyle g(z)=z^{r}+a_{1}z^{r-1}+\ldots +a_{r))$ $g(z)=(z-\alpha _{1})^{e_{1}}(z-\alpha _{2})^{e_{2}}\cdots (z-\alpha _ {s})^{e_{s}}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{s))$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{s))$ $e_{1}+e_{2}+\ldots +e_{s}=r$

A karakterisztikus polinomot és a polinomot a reláció kapcsolja össze . Ily módon $g(z)$ $K(z)$ $K(z)=z^{r}g\left({\frac {1}{z}}\right)$

K(z)=(1-\alpha _{1}z)^{e_{1}}(1-\alpha _{2}z)^{e_{2}}\cdots (1-\ alfa _{s}z)^{e_{s}}.

A racionális függvényt törtek összegeként ábrázolhatjuk:

F(z)={\frac {C(z)}{K(z)}}=\sum _{i=1}^{s}\sum _{k=1}^{e_{i }}{\frac {\beta _{ik}}{(1-\alpha _{i}z)^{k}}}.

Ebben a kifejezésben minden tört alakja , így a következő formájú hatványsorokká bővíthető $\beta (1-\alpha z)^{{-k}}$

\beta (1-\alpha z)^{-k}=\beta \left[1+(-k)(-\alpha z)+\ldots +{\frac {(-k)\cdots ( -k-n+1)}{n!}}(-\alpha z)^{n}+\lpontok \jobbra]

A for együttható ebben a sorozatban egyenlő $z^{n}$

{\frac {\beta (n+k-1)\cdots k}{n!)}}\alpha ^{n}=\beta {\binom {n+k-1}{n}}\ alfa ^{n}=\beta {\binom {n+k-1}{k-1}}\alpha ^{n}.

Ezért a és generáló függvény a lineáris ismétlődő egyenlet általános megoldása, ahol legfeljebb fokszámú polinom . $F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=1}^{s}p_{i}(n)\alpha _{i}^ {n}\jobbra)z^{n}$ $f_{{n}}=\sum _{{i=1}}^{{s}}p_{{i}}(n)\alpha _{{i}}^{{n}}$ $p_{{i}}(n)$ $n$ $e_{{i}}-1$

Példa

Legyen szükséges az egyenlet megoldásának megtalálása peremfeltételekkel és . $f_{{n+2}}-f_{{n+1}}+f_{{n}}=0$ $f_{{0}}=1$ $f_{{1}}=1$

Ennek az egyenletnek van egy karakterisztikus polinomja , ahol , . Az általános megoldásnak a formája van . Helyettesítve azt kapjuk , . Értékeket kapunk , . Így . $z^{2}-z+1=(z-\alpha _{1})(z-\alpha _{2})$ $\alpha _{{1}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}=e^{{i{\frac {\pi } {3}}}}$ $\alpha _{{2}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}=e^{{-i{\frac {\pi }{3}}}}$ $f_{{n}}=c_{{1}}\alpha _{{1}}^{{n}}+c_{{2}}\alpha _{{2}}^{{n}}=c_ {{1}}e^{{{\frac {i\pi n}{3}}}}+c_{{2}}e^{({\frac {-i\pi n}{3}}} }$ $n=0,1$ $c_{{1}}+c_{{2}}=1$ $c_{{1}}\alpha _{{1}}+c_{{2}}\alpha _{{2}}=1$ $c_{{1}}={\frac {1}{2}}-i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$ $c_{{2}}={\frac {1}{2}}+i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}$ $f_{n}=\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\right)\left(\cos \left ({\frac {\pi n}{3}}\right)+i\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)\right)+\left({\frac {1 }{2}}+i{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\jobbra)\left(\cos \left({\frac {\pi n}{3}}\jobbra) -i\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\right)\right)=\cos \left({\frac {\pi n}{3}}\jobb)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\sin \left({\frac {\pi n}{3}}\jobbra)$

Alkalmazások

Létezik egy képlet, amely egy lineáris ismétlődő sorozat általános tagját a karakterisztikus polinom gyökeivel fejezi ki. Például a Fibonacci-szekvencia esetében egy ilyen képlet a Binet -képlet . A rekurzív képleteket egy önmagát rekurzív módon hívó algoritmus futási idejének leírására használjuk. Egy ilyen képletben a bemeneti mennyiséggel kapcsolatos probléma megoldásához szükséges időt a segéd részfeladatok megoldásának idejével fejezzük ki. [egy] $n$

Lásd még

Lineáris ismétlődő sorozat
rekurzív függvény
rekurzió
Főtétel a rekurzív relációkról (egyes típusú rekurzív relációk egyszerűsített megoldása, amelyek a rekurzív algoritmusok összetettségének elemzése során merülnek fel)

Jegyzetek

↑ T. Kormen, C. Leizerson, R. Rivest, K. Stein. Algoritmusok. Konstrukció és elemzés = Introduction To Algorithms / I. Krasikov. - "Williams" kiadó, 2005. - S. 79. - 1296 p.

Irodalom

Fujisawa T., Kasami T. Matematika rádiómérnökök számára: diszkrét szerkezetek elmélete. - M. , kiadó = Rádió és kommunikáció, 1984. - 240 p.