A pék leképezése az egységnégyzet önmagára való nemlineáris leképezése , amely kaotikus viselkedést mutat.
A "baker display" név a tésztadagasztáshoz való hasonlóságból ered .
A leképezéshez vegye figyelembe a bináris karakterek (0 és 1) szimbolikus sorozatát, amely mindkét irányban végtelen
… S - 2 , S- 1 , S 0 ; S 1 , S 2 ,…Hasonlítsuk össze ezt a sorozatot két valós számmal (bináris kódban)
x = 0. S 1 S 2 S 3 ... y = 0. S 0 S -1 S -2 ...Mivel a bináris rendszerben a teljes szám balra eltolása egy számjeggyel 2-vel való szorzásnak felel meg, a jobbra eltolás 2-vel való osztásnak felel meg, a tört részt pedig a legmagasabb számjegy elvetésére vesszük, könnyen annak ellenőrzésére, hogy ha a szimbolikus sorozatot balra toljuk, új értékeket kapunk
x' = 2x 1. mód y' = 1/2 ( y + [ 2x ])ahol [x] az egész szám és (mod 1) az x tört része . A leképezés iterálásával kapott pontokat az (x o , y o ) pont pályájának nevezzük . A pálya pontjai az egységnégyzet pontjaival azonosíthatók.
Az átalakítás a négyzet egyenletes 2-szeres összenyomásából áll függőleges irányban és nyújtásából vízszintes irányban. Ezután a jobb felét le kell vágni, és a bal oldalra kell helyezni. Az első két iteráció működése az ábrán látható.
Nyilvánvaló, hogy ha a karaktersorozatban a pontosvessző utáni első számjegy 0, akkor x a négyzet bal felében található, ha pedig 1, akkor a jobb oldalon. Véletlenszerű karaktersorozat esetén a pálya pontjai véletlenszerűen látogatják a négyzet bal vagy jobb felét. Az összetett pályák folytonosságának meglétét a káosz egyik jellemzőjének tekintik.
A térkép periodikus pályái könnyen megtalálhatók a szimbolikus sorozatból. Tehát a csak 0 -ból és 1 -ből álló szimbolikus sorozatok az (x, y) = (0, 0) és (1, 1) rögzített pontoknak felelnek meg . A (10) periodikus sorozat két pont (1/3, 2/3) és (2/3, 1/3) pályájának felel meg .
Bármely x és y tetszőlegesen pontosan közelíthető a 0.X o …X n és 0.Y o …Y m bináris sorozatokkal , ahol n és m elég nagy. Ezért a periodikus sorozat (Y m …Y o X o …X n ) pályája tetszőlegesen közel fog elhaladni a négyzet bármely pontjához. Vagyis az instabil periodikus pályák mindenütt sűrű halmazt alkotnak.
Az x tengely mentén történő nyújtás azt a tényt eredményezi, hogy minden iterációnál a δx közeli pontpárok vízszintes irányú távolsága 2-szeresére nő. Ezért bizonyos számú iteráció után (amikor δx 2 n sokkal nagyobb lesz, mint 1), a pályák egyenletesen mozognak a teljes négyzeten.
Úgy gondolják, hogy a fizikai rendszer kezdeti állapota nem határozható meg teljesen pontosan, vagyis mindig figyelembe kell venni a kezdeti feltételek bizonyos (bár nagyon kicsi) területét. Nyilvánvaló, hogy a leképezési iterációk során bármely kiválasztott terület keskeny vízszintes csíkok halmazává válik, amelyek egyenletesen fedik le az egységnégyzetet. Ilyen keveredés után értelmetlen a részecske koordinátájáról beszélni, de ki lehet számolni, hogy egy adott pontban mekkora a valószínűsége (adott leképezésnél a négyzet minden pontja egyformán valószínű). A pék transzformációja megfordítható, ellenkező irányú iteráció esetén bármely terület keskeny függőleges csíkokra tör, és az egész négyzet körül is megkeveredik.
Egy végtelen véletlenszerű szimbolikus sorozat szükségszerűen (valahol a végtelenben) bármilyen Y m …Y o X o …X n karakterláncot tartalmaz (lásd #Instabil periodikus pályák ). Ezért egy ilyen pont pályája tetszőlegesen közel halad a négyzet minden pontjához, és a pálya feletti átlagolás ("idő") helyettesíthető az együttes feletti átlagolással (az úgynevezett ergodikus hipotézis ).