Az X topológiai térben lévő hurok az I = [0,1] egységszegmens f folyamatos leképezése X -re úgy, hogy f (0) = f (1). Más szóval, ez egy olyan út , amelynek kezdőpontja megegyezik a végponttal [1] .
A hurok az S 1 egységkör f folytonos leképezéseként is felfogható X -re , mivel S 1 tekinthető I hányadosterének , ha 0-t 1-gyel azonosítunk.
Legyen X egy topológiai tér, x 0 ∈ X . Egy l : S 1 → X folytonos leképezést , amelyre l(1) = x 0 , körhuroknak nevezzük x 0 -ban [2] . Minden x 0 pontban lévő körhurok társítható egy hurokhoz az X térben ugyanabban a pontban, ha felvesszük az l összetételt a t →e 2πit képlettel adott I → S 1 leképezéssel . Egy körhurokból ily módon bármilyen hurok nyerhető.
A körkörös hurkokat homotópiának (vagy azzal egyenértékűnek ) nevezzük, ha {1}-homotopikusak (vagyis ha a köztük lévő homotópia egy 1 ∈ S 1 pontban kapcsolódik össze ). A megfelelő ekvivalencia osztályokat homotópia hurokosztályoknak nevezzük.
Egy nem üres topológiai teret egyszerűen összekapcsoltnak nevezünk , ha útvonalhoz kötődik, és minden benne lévő hurok homotopikus egy konstans hurokhoz [2] .
A hurkok homotópiás osztályainak halmaza egy pontban egy csoportot alkot az útvonal-összetétel művelettel. Ezt a csoportot az X tér alapcsoportjának nevezzük az x 0 megjelölt pontban .
Az X -ben lévő összes hurok halmaza egy teret alkot, amelyet X hurokterének neveznek [1] .