Periodikus funkció

A periodikus függvény egy olyan függvény , amely megismétli az értékeit az argumentum bizonyos szabályos intervallumában, vagyis nem változtatja meg az értékét, ha valamilyen rögzített nullától eltérő számot ( a függvény periódusát) adunk az argumentumhoz az argumentumban. teljes definíciós tartomány.

Formálisabban egy függvényt periódusos periódusosnak nevezünk, ha a definíciós tartományából származó minden pontra a pontok és szintén a definíciós tartományába tartoznak, és az egyenlőség igaz rájuk . $T\neq 0$ $x$ $x+T$ $xT$ $f(x)=f(x+T)=f(xT)$

A definíció alapján az egyenlőség egy periodikus függvényre is igaz , ahol tetszőleges egész szám. $f(x)=f(x+nT)$ $n$

Minden trigonometrikus függvény periodikus.

Formális definíció

Legyen egy Abel - csoport (általában feltételezik - valós számok összeadási művelettel vagy - komplex számok ). Egy függvényt (ahol az értékeinek tetszőleges halmaza) periodikusnak nevezünk , periódusos if $M$ $M=(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {C} ,+)$ $f:M\to N$ $N$ $T\not=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M

Ha ez az egyenlőség egyikre sem teljesül , akkor a függvényt aperiodikusnak nevezzük . $T\in M,\,T\not =0$ $f$

Ha egy függvénynek két olyan periódusa van , amelyek aránya nem egyenlő egy valós számmal , vagyis akkor azt duplán periodikus függvénynek nevezzük . Ebben az esetben az értékeket a teljes síkban a paralelogramma értékei határozzák meg . $f:\mathbb {C} \to N$ $T_{1},T_{2}\not =0$ ${\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R}$ $f$ $f$ $T_{1},T_{2}$

Megjegyzés

A függvény periódusa nem egyértelmű. Konkrétan, ha egy pont, akkor az alak bármely eleme (vagy ha a szorzási művelet a függvény tartományában van definiálva), ahol egy tetszőleges természetes szám , szintén pont. $T$ $T'$ $T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}$ $T'=nT$ $n\in \mathbb {N}$

Egy függvény összes periódusának halmaza additív csoportot alkot .

Ha azonban a periódusok halmaza a legkisebb értékű, akkor azt a függvény fő (vagy fő) periódusának nevezzük. ${\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \))$

Példák

A szinusz és a koszinusz valós függvények periodikusak, a óta főperiódussal $2\pi$

\sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .

A tangens és a kotangens függvények periodikusak, főperiódussal . $\pi$

Az egész számokon definiált függvény periodikus a főperiódussal . ${\displaystyle f(x)=(-1)^{x))$ $2$

Az állandóval egyenlő függvény periodikus, és bármely nem nulla szám a periódusa. A függvénynek nincs főperiódusa. $f(x)=\mathrm {const}$

A Dirichlet -függvény periodikus, periódusa bármely nullától eltérő racionális szám. Nincs is főidőszaka.

A függvény periodikus. $f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R}$

A periodikus függvények néhány jellemzője

Két összehasonlítható periódusú függvény összege, és nem mindig olyan függvény, amelynek fő periódusa egyenlő a legkisebb közös többszörösével és (ez a szám azonban egyszerűen egy pont lesz). Például a függvény főperiódusa , a függvény periódusa , és összegükben nyilván van a főperiódus . $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)$ $2\pi$ $g(x)=\sin(3x)$ $2\pi /3$ $f(x)+g(x)=\sin(2x)$ $\pi$

Két összemérhetetlen periódusú függvény összege nem mindig nem periódusos függvény.

Vannak olyan periódusos függvények, amelyek nem egyenlők egy állandóval, amelynek periódusai összemérhetetlen számok. Például egy olyan függvénynél , amely az algebrai x 1-et, más esetekben a 0 értéket veszi fel, bármely algebrai szám egy pont, és az algebrai számok között vannak összemérhetetlenek is. $f(x)$

Lásd még

Kvázi-periodikus függvény

Linkek

Periodikus funkció (Nagy Szovjet Enciklopédia)