Keverés (dinamikus rendszerek)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. augusztus 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A dinamikus rendszerek elméletében a keveredés  a rendszer azon tulajdonsága, hogy idővel "elfelejti" a kezdeti állapotra vonatkozó információkat. Pontosabban, különbséget teszünk a topológiai és a metrikus keveredés között. Az első a folytonos rendszerek elméletére vonatkozik, és nagyjából azt állítja, hogy bármennyire is pontosan ismerjük egy pont kiindulási helyzetét, idővel a lehetséges helye egyre sűrűbbé válik. A második a mérhető rendszerek elméletére utal - olyan rendszerekre, amelyek megőriznek valamilyen mértéket  -, és azt állítják, hogy az abszolút folytonos mérték eloszlása ​​(például a kezdeti feltételek egy adott részhalmazára vonatkozó korlátozások) az iterációk során magára a mértékre irányul. .

Legyen egy kaotikus rendszer attraktorja , amelyre adott a rendszerfejlődési operátor és egy invariáns mérték . Az attraktort 2 régióra szegmentáljuk, és a régió azon pontjainak arányát, amelyek az evolúciós operátor iterációi révén a régióba kerültek, a következőképpen írható fel:

Az evolúciós operátor egy keveredés, ha at , az érték nem függ a régió megválasztásától, és az at reláció határozza meg . Ez a képlet fizikai szempontból leírja a kezdeti feltételek bármely területének elmosódását az összes attraktor felett . A határértékben a halmaz pontjainak képeinek mértéke a halmazban egyenlő az attraktoron lévő halmaz mértékével tetszőleges halmazok esetén és [1]

Definíciók

Topológiai keverés

Definíció szerint egy (folyamatos) dinamikus rendszer topológiailag keveredő , ha bármely két nem üres nyitott halmaz esetén,

vagy ami ugyanaz,

Ez különösen azt jelenti, hogy bármely adott és nem üres nyitott halmaz esetén minden kellően nagy számú iteráció -sűrűnek bizonyul a fázistérben.

A topológiai keveredés erősebb tulajdonság , mint a tranzitivitás . Így a kör irracionális forgatása tranzitív, de nem keveredik.

Metrikus keverés

Definíció szerint a mértékmegőrző mérhető leképezést metrikusan keverőnek nevezzük , ha bármely két mérhető halmaz esetében,

Ami az integrálható függvényeket illeti, ez egyenértékű azzal, hogy bármelyik két függvényre ,

Egy mérték ergodikitása szükséges, de nem elégséges feltétele a metrikus keveredésnek. Így a kör irracionális forgatása megőrzi ergodikus Lebesgue-mértékét , de metrikusan nem keveredik.

Lásd még

Jegyzetek

  1. M. Yu. Logunov, O. Ya. Butkovsky. A kaotikus rendszerek keveredése és Ljapunov kitevői.

Irodalom