Keverés (dinamikus rendszerek)

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. augusztus 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 3 szerkesztést igényelnek .

A dinamikus rendszerek elméletében a keveredés a rendszer azon tulajdonsága, hogy idővel "elfelejti" a kezdeti állapotra vonatkozó információkat. Pontosabban, különbséget teszünk a topológiai és a metrikus keveredés között. Az első a folytonos rendszerek elméletére vonatkozik, és nagyjából azt állítja, hogy bármennyire is pontosan ismerjük egy pont kiindulási helyzetét, idővel a lehetséges helye egyre sűrűbbé válik. A második a mérhető rendszerek elméletére utal - olyan rendszerekre, amelyek megőriznek valamilyen mértéket -, és azt állítják, hogy az abszolút folytonos mérték eloszlása (például a kezdeti feltételek egy adott részhalmazára vonatkozó korlátozások) az iterációk során magára a mértékre irányul. . $\mu$ $\mu$ $\mu$ $\mu$

Legyen egy kaotikus rendszer attraktorja , amelyre adott a rendszerfejlődési operátor és egy invariáns mérték . Az attraktort 2 régióra szegmentáljuk, és a régió azon pontjainak arányát, amelyek az evolúciós operátor iterációi révén a régióba kerültek, a következőképpen írható fel: $G$ $S(G)$ $\mu$ $B$ $W.$ $B$ $n$ $S$ $W,$

$D_{n}={\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W))).$

Az evolúciós operátor egy keveredés, ha at , az érték nem függ a régió megválasztásától, és az at reláció határozza meg . Ez a képlet fizikai szempontból leírja a kezdeti feltételek bármely területének elmosódását az összes attraktor felett . A határértékben a halmaz pontjainak képeinek mértéke a halmazban egyenlő az attraktoron lévő halmaz mértékével tetszőleges halmazok esetén és [1] $S$ $n\jobbra \infty$ $D_{n}$ $W,$ ${\frac {\mu (S^{n}(B)\cap W)}{\mu (W)))\rightarrow {\frac {\mu (B)}{\mu (G)} }$ $n\jobbra \infty$ $B$ $G$ $n\jobbra \infty$ $B$ $W$ $B$ $G$ $B$ $W.$

Definíciók

Topológiai keverés

Definíció szerint egy (folyamatos) dinamikus rendszer topológiailag keveredő , ha bármely két nem üres nyitott halmaz esetén, $f:X\-X$ $A,B\subset X$

\exists N:\quad \forall n\geq N\quad f^{n}(A)\cap B\neq \emptyset ,

vagy ami ugyanaz,

\exists N:\quad \forall n\geq N\quad A\cap f^{-n}(B)\neq \emptyset ,

Ez különösen azt jelenti, hogy bármely adott és nem üres nyitott halmaz esetén minden kellően nagy számú iteráció -sűrűnek bizonyul a fázistérben. $\varepsilon >0$ $A$ $A$ $\varepsilon$

A topológiai keveredés erősebb tulajdonság , mint a tranzitivitás . Így a kör irracionális forgatása tranzitív, de nem keveredik.

Metrikus keverés

Definíció szerint a mértékmegőrző mérhető leképezést metrikusan keverőnek nevezzük , ha bármely két mérhető halmaz esetében, $f:(X,{\mathcal {A)],\mu )\to (X,{\mathcal {A)),\mu )$ $A,B\in {\mathcal {A}}$

\mu (f^{-n}(A)\cap B)\to \mu (A)\mu (B),\quad n\to \infty .

Ami az integrálható függvényeket illeti, ez egyenértékű azzal, hogy bármelyik két függvényre , $\varphi ,\psi \in L_{2}(X,\mu )$

\int _{X}\varphi (f^{n}(x))\psi (x)\,d\mu (x)\to \int _{X}\varphi \,d\mu \ cdot \int _{X}\psi \,d\mu .

Egy mérték ergodikitása szükséges, de nem elégséges feltétele a metrikus keveredésnek. Így a kör irracionális forgatása megőrzi ergodikus Lebesgue-mértékét , de metrikusan nem keveredik. $\mu$

Lásd még

Tranzitivitás (dinamikus rendszerek)
Dinamikus rendszerek spektrumelmélete

Jegyzetek

↑ M. Yu. Logunov, O. Ya. Butkovsky. A kaotikus rendszerek keveredése és Ljapunov kitevői.

Irodalom

Kornfeld I. P., Sinai Ya. G., Fomin S. V., Ergodic theory.
Sinai Ya. G., Az ergodikus elmélet modern problémái, Moszkva: FizMatLit, 1995, p. 24.
Katok A. B. , Hasselblat B. Bevezetés a dinamikus rendszerek modern elméletébe / ford. angolról. A. Kononenko S. Ferleger közreműködésével. - M . : Factorial, 1999. - 768 p. — ISBN 5-88688-042-9 .