Általánosított energiaintegrál

Az általánosított energiaintegrál egy holonikus mechanikai rendszer Lagrange-egyenleteinek integrálja időfüggetlen Lagrange-függvény esetén . Jacobi integrálnak is nevezik. Mindig létezik, ha az erők potenciálisak, és a Lagrange-függvény nem függ kifejezetten az időtől [1] .

Megfogalmazás

Lagrange-egyenletek holonikus mechanikai rendszerhez időfüggetlen Lagrange-függvénnyel

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m))))\right)-{\frac {\partial L }{\partial q_{{m)))=0$

van egy általánosított energiaintegrálja [2] :

$h=\sum _{{m=1}}^{{s}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m}}}}{\dot {q} }_{{m}}-L$

Következtetés

Tekintsünk egy holonómikus rendszert, amely szabadságfokokkal rendelkezik a Lagrange-függvénnyel $s$

$L=L(q_{m},{\pont {q))_{m},t)$ ,

általánosított koordinátáktól , általánosított sebességektől és időtől függően itt és lent mindenhol . ${\displaystyle q_{m))$ ${\pont {q}}_{m}$ $t$ $m=1,2,...,s$

A függvényt az idő függvényében differenciálva kapjuk $L(q_{m},{\pont {q))_{m},t)$

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot { q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t))$ .

A Lagrange-egyenletekből

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{{m))))\right)-{\frac {\partial L }{\partial q_{{m)))=0$

ezt követi

${\frac {\partial L}{\partial q_{m))}={\frac {d}{dt))\left({\frac {\partial L}{\partial {\pont {q }}_{m}}}\jobbra)$ .

Akkor kapjuk:

${\frac {\partial L}{\partial q_{m))}{\dot {q))_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\pont {q)) _{m))}{\ddot {q}}_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\pont {q}}_ {m}}}\jobbra){\pont {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\pont {q}}_{m}}}{\ddot {q} }_{m}={\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\pont {q}} _{m}\jobbra)$ .

Ennek felhasználásával a következőket kapjuk:

${\frac {dL}{dt}}=\sum _{m=1}^{s}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{m}}}{\dot { q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\ddot {q}}_{m}\right)+{\frac {\partial L}{\partial t}}={\frac {d}{dt}}\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\pont {q }}_{m}}}{\pont {q}}_{m}+{\frac {\partial L}{\partial t}}$

Vagy:

${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\pont {q}}_{m} )){\pont {q))_{m}-L\jobb)+{\frac {\partial L}{\partial t))=0$ .

Ha a Lagrange-függvény kifejezetten független az időtől, akkor ${\frac {\partial L}{\partial t))=0$ ${\frac {d}{dt}}\left(\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\pont {q}}_{m} }}{\pont {q}}_{m}-L\jobbra)=0$

Ezért:

$\sum _{m=1}^{s}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{m}}}{\dot {q}}_{m} -L=h$

Ezt a kifejezést általánosított energiaintegrálnak vagy Jacobi-integrálnak [2] nevezzük .

Jegyzetek

↑ Butenin, 1971 , p. 102.
↑ 1 2 Butenin, 1971 , p. 101.

Irodalom

Butenin N.V. Bevezetés az analitikai mechanikába. - M. : Nauka, 1971. - 264 p.