Általánosított elrendezés

A cellákban lévő részecskék általánosított elrendezési sémája [ 1] [2] [3] a következőképpen definiálható.

Definíció

Legyenek nemnegatív egész valószínűségi változók (r.v.) , amelyek összege egyenlő , nem negatív egész számtól független r.v -vel. a következő arány: $\eta_1,\pontok,\eta_N$ $n$ $\xi_1,\pontok,\xi_N$

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\mathbb{P}\{\xi_1=k_1,\dots,\xi_N=k_N\;|\;\xi_1+\dots+ \xi_N=n\}\qquad(1)

minden olyan nem negatív egész számra , amelyek összege egyenlő . Aztán azt mondják, hogy r.v. általános elrendezési sémát (GSR) alkotnak. $k_1,\pontok,k_N$ $n$ $\eta_1,\pontok,\eta_N,\xi_1,\pontok,\xi_N$

Ha a GSR szimmetrikus, azaz minden r.v. azonos eloszlásúak, akkor az (1)-ben szereplő jobb oldali valószínűség így írható fel: $\xi_k$

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{p_{k_1}\dots p_{k_N}}{\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n} p_{j_1}\dots p_{j_N}},\qquad(2)

ahol $p_k=\mathbb{P}\{\xi_1=k\},\quad k=0,1,2\pontok$

Sémák típusai

Kanonikus elrendezés

Az OCP leggyakoribb esete a kanonikus allokációs séma , [4] amelyre

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{b_{k_1}\dots b_{k_N)){\sum\limits_{j_1+\dots+j_N=n} b_{j_1}\dots b_{j_N}},\qquad(3)

ahol nemnegatív számok sorozata úgy, hogy , a sorozat konvergencia sugara 1, és a sorozat támogatásának maximális lépése 1. $b_0,b_1,\pontok$ $b_0>0$ $B(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty b_kx^k$ $b_0,b_1,\pontok$

A kanonikus sémához az r.v. lineáris transzformációjával. minden (3) alakú séma redukálva van a sorozatra vonatkozó fenti korlátozások nélkül , egyetlen feltétellel - egy véges és nullától eltérő konvergenciasugárral . A (3) séma nyilvánvalóan a (2) és ennélfogva (1) speciális esete. $\eta_1,\pontok,\eta_N$ $\{b_k\}$ $B(x)$

Klasszikus elrendezés

Klasszikus elhelyezési séma (a részecskék sejtekben való kiegyensúlyozott elhelyezésének sémája), [2] amelyben

\mathbb{P}\{\eta_1=k_1,\dots,\eta_N=k_N\}=\frac{n!}{k_1!\dots\;k_N!N^n},

nem redukál kanonikusra, mivel a konvergencia sugara egyenlő a végtelennel. De ez a (2) (és így az (1)) speciális esete. $B(x)=e^x$

Alkalmazás

Az (1), (2) és (3) formájú kiosztási sémák kényelmes eszközt jelentenek olyan véletlenszerű objektumok tanulmányozására, mint a Galton-Watson erdők ., [5] véletlenszerű helyettesítések , [3] rekurzív erdők [6] stb.

Lásd még

óriás komponens

Irodalom

↑ Kolchin V. F. Véletlenszerű leképezések. - M .: Nauka, 1984.
↑ 1 2 Kolchin V. F., Sevastyanov B. A., Chistyakov V. P. Véletlenszerű elhelyezések. - M .: Nauka, 1976.
↑ 1 2 Kolchin V. F. Véletlenszerű gráfok. - M .: Fizmatlit, 2000.
↑ Kazimirov N. I. Galton-Watson erdők és véletlenszerű helyettesítések . - Dis. inasképzésre lépés. folypát. f.-m.s. - Petrozavodsk, 2003. - 127 p. (nem elérhető link)
↑ Pavlov Yu. L. Random Forests. – Utrecht, V.S.P. – 2000.
↑ Pavlov Yu. L., Loseva E. A. Egy fa maximális méretének határeloszlása véletlenszerű rekurzív erdőben // Discrete Mathematics. - 2002. - T. 14 , 1. sz . - S. 60-74 .