Shapiro polinomok

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. január 15-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Shapiro polinomok olyan polinomok sorozata, amelyeket Harold Shapiro vizsgált először 1951-ben, amikor néhány speciális trigonometrikus összeg értékét vizsgálta [1] . Jelfeldolgozási szempontból a Shapiro polinomok jó autokorrelációs tulajdonságokkal rendelkeznek [2] , és az egységkörben mért értékük kicsi. A sorozat első tagjai:

{\begin{aligned}P_{1}(x)&{}=1+x\\P_{2}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}\\ P_{3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}+x^{4}+x^{5}-x^{6}+x^{7} \\...\\Q_{1}(x)&{}=1-x\\Q_{2}(x)&{}=1+xx^{2}+x^{3}\\Q_ {3}(x)&{}=1+x+x^{2}-x^{3}-x^{4}-x^{5}+x^{6}-x^{7}\ \...\\\vége{igazított}}

ahol a második szekvenciát, Q , az első szekvenciával komplementernek nevezzük , P .

Épület

Shapiro polinomokat a Rudin-Shapiro sorozatból kaphatunk ( , ha az n bináris reprezentációjában a 11 -es részkarakterláncok száma páros, és egyébként ( OEIS A020985 )). Igen, stb. $P_{n}(z)$ $a_n$ $a_{n}=1$ $a_{n}=-1$ $a_{0}=1,a_{1}=1,a_{2}=1,a_{3}=-1$

$P_{n}$ egy hatványsor rendjének részösszege $2^{n}-1$ $f(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...$

A Rudin-Shapiro szekvencia szerkezete hasonló a fraktáléhoz - például , vagyis az alszekvencia egybeesik az eredetivel . Ez a tulajdonság olyan figyelemre méltó funkcionális egyenletekhez vezet, amelyek . $a_n$ $a_{n}=a_{{2n}}$ $a_{0},a_{2},a_{4},...$ $\{a_{n}\}$ $F z)$

További Shapiro polinomok, , definiálhatók ugyanazzal a sorozattal, a reláción keresztül vagy rekurzív képletekkel: $Q_{n}(z)$ $Q_{n}(z)=(-1)^{n}z^{{2n}}P_{n}({\frac {-1}{z}})$

P_{0}(z)=1;~~Q_{0}(z)=1;

P_{{n+1}}(z)=P_{n}(z)+z^{{2^{n}}}Q_{n}(z);

Q_{{n+1}}(z)=P_{n}(z)-z^{{2^{n}}}Q_{n}(z).

Tulajdonságok

A következőnek megfelelő további sorozatot egyedileg határoznak meg a következő tulajdonságok: $Q_{n}$ $P_{n}$

A diploma az . $Q_{n}$ $2^{n}-1$
Az együtthatók egyenlők , az együttható nulla fokon egyenlő 1-gyel. $Q_{n}$ $\pm 1$
Az egyenlőség a teljes egységkörre érvényes . $|P_{n}(z)|^{2}+|Q_{n}(z)|^{2}=2^{{n+1}}$ $z\in \mathbb {C} ,|z|=1$

A sorozat legérdekesebb tulajdonsága, hogy az egységkörön lévő érték modulusa korlátos , ami egyenlő a -norm -al . Az olyan együtthatójú polinomok, amelyek maximális modulusa az egységkörön közel van az átlagos modulushoz, hasznosak a kommunikációelmélet különféle alkalmazásaiban (például antenna alakjában és adattömörítésében ). A (3) tulajdonság azt mutatja, hogy (P, Q) egy Golay párt alkotnak . $P_{n}$ $P_{n}(z)$ ${\sqrt {2^{{n+1)))$ $L_{2}$ $P_{n}$ $\pm 1$

Ezen polinomok egyéb tulajdonságai [3] :

P_{n+1}(z)=P_{n}(z^{2})+zP_{n}(-z^{2});

Q_{n+1}(z)=Q_{n}(z^{2})+zQ_{n}(-z^{2});

P_{n}(z)P_{n}(1/z)+Q_{n}(z)Q_{n}(1/z)=2^{n+1};

P_{n+k+1}(z)=P_{k}(z)P_{n}(z^{2k+1})+z^{2k}Q_{k}(z)P_{ n}(-z^{2k+1});

P_{n}(1)=2^{\lfloor (n+1)/2\rfloor };{~}{~}P_{n}(-1)=(1+(-1)^ {n})2^{\lfloor n/2\rfloor -1}.

Lásd még

Littlewood polinomok

Jegyzetek

↑ John Brillhart és L. Carlitz. Megjegyzés a Shapiro-polinomokról // Proceedings of the American Mathematical Society : folyóirat . – Proceedings of the American Mathematical Society, 20. évf. 25, sz. 1, 1970. - május ( 25. köt. , 1. sz.). - 114-118 . o . - doi : 10.2307/2036537 .
↑ Somaini, U. Bináris sorozatok jó korrelációs tulajdonságokkal // Electronics Letters : folyóirat. - 1975. - június 26. ( 11. évf. , 13. sz.). - 278-279 . - doi : 10.1049/el:19750211 .
↑ J. Brillhart; J. J. Lomont, P. Morton. A Rudin–Shapiro polinomok ciklotomikus tulajdonságai (angol) // J. Reine Angew. Math. : folyóirat. - 1976. - 1. évf. 288 . - P. 37-65 .

Hivatkozások

Borwein, Peter B Számítási kirándulások az elemzésben és a számelméletben . - Springer, 2002. - ISBN 0387954449 . 4. fejezet.