Sinai-Ruelle-Bowen mérték

A Sinai-Ruelle-Bowen mérték vagy SRB-mérték egy dinamikus rendszer fázisterének mértéke, amelyhez a tipikus kezdeti (a Lebesgue-mérték értelmében) pontok pályáinak eloszlása hajlik (esetleg valamilyen területről). ). Ebben az esetben azt a ponthalmazt, amelynél ilyen tendencia jelentkezik , e mérték vonzási medencéjének nevezzük.

A koncepció Ya. G. Sinai , D. Ruell és R. Bowen nevéhez fűződik , akiknek munkáiban bemutatták.

Definíciók

Pontosabban, két nem egyenértékű fogalom létezik: a Sinai-Ruel-Bowen mérték meghatározása, amely tipikus pontok iterációihoz kapcsolódik ("megfigyelt mérték"), és módosítása, amely az abszolút folytonos mértékek iterációihoz kapcsolódik ("természetes mérték" ").

1. definíció . Egy mértéket (megfigyelhető) Sinai-Ruelle-Bowen mértéknek nevezünk , ha egy pozitív Lebesgue-mérték kezdeti pontjainál a pályák eloszlása a következőhöz konvergál : $\mu$ $x$ $\mu$

{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}\delta _{f^{j}(x)}\to \mu ,\quad n\to \infty .\qquad \qquad (*)

Ebben az esetben a (*)-t kielégítő x pontok halmazát a mérték vonzáskörzetének nevezzük . $\mu$

Ezzel egyenértékűen ez a meghatározás időátlagokkal is megfogalmazható :

Definíció 1'. Egy mértéket (megfigyelt) Sinai-Ruelle-Bowen mértéknek nevezünk , ha valamely pozitív Lebesgue-mérték halmaza esetén bármely folytonos függvény időátlagai szinte mindenhol konvergálnak az integrál mértékéhez . $\mu$ $M$ $\varphi$ $M$ $\mu$

{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}\varphi (f^{j}(x)){\xrightarrow[{n\to \infty } ]{{\text{ae in}}\,\,M}}\int \varphi \,d\mu .\qquad \qquad (**)

Ebben az esetben azt a maximális halmazt , amelyre (**) érvényes, a mérték vonzási készletének nevezzük . $M$ $\mu$

Természetes mérték esetén nem egy atomi kezdeti mérték iterációit (vagy ami ugyanaz, egy egyedi pálya eloszlását) tekintjük, hanem az abszolút folytonos kezdeti mértékek átlagolását:

Definíció 2. Egy mértéket (természetes) Sinai-Ruelle-Bowen mértéknek nevezünk , ha bármely abszolút folytonos m kezdeti mérték pozitív Lebesgue-mértékének halmaza esetén annak időátlagai szinte mindenhol konvergálnak a mértékhez : $\mu$ $M$ $\mu$

{\frac {1}{n}}\sum _{j=0}^{n-1}(f^{j})_{*}(m)\to \mu ,\quad n\ \infty .\qquad \qquad (***)

Ebben az esetben a maximális mérhető halmazt , amelyre (***) teljesül, a mérték vonzási készletének nevezzük . $M$ $\mu$

Lásd még

Krylov-Bogolyubov tétel

Irodalom

Ya.G.Sinai, Gibbs mérések az ergodikus elméletben, Uspekhi Mathematicheskikh Nauk , 27 :4 (1972), 21-69.
R. Bowen. Az Anosov-diffeomorfizmusok egyensúlyi állapotai és ergodikus elmélete. Springer matematikai előadásjegyzetek. 470 (1975)].
D. Ruelle. Az Axióma A attraktorokhoz kapcsolódó mérték. amer. J Math. 98 (1976), pp . 619-654.
L.S. Fiatal. Mik azok az SRB mérőszámok, és mely dinamikus rendszerek rendelkeznek velük? J. Statist. Phys. , 108 (2002), pp. 733–754.
M. Blank, L. Bunimovich. Többkomponensű dinamikus rendszerek: SRB mérések és fázisátmenetek. Nonlinearity , 16 (2003), pp. 387-401.