Összecsukás (geometria)

Az összeomlás a terek egyfajta sorozata, általában Riemann-féle sokaság , amely jelentősen megváltoztatja a lokális szerkezetet (különösen elveszíti dimenzióját), amikor a határértékre lép.

Definíció

Az összeomlásnak számos nem egyenértékű definíciója létezik.

Kitöltési sugáron keresztül

A zárt Riemann-féle sokaságok sorozata összeomlik, ha töltési sugaruk nullára hajlik.

Méretvesztés révén

Tegyük fel, hogy egy dimenziós Riemann-sokaság sorozat görbülete alul határolt, és a Gromov-Hausdorff értelemben vett Alexander térhez konvergál . Ha ebben az esetben a dimenzió szigorúan kisebb, mint , akkor azt mondjuk, hogy összeomlik -ra . $m$ $M_{n}$ $A$ $A$ $m$ $M_{n}$ $A$

A különbséget az összeomlás kodimenziójának nevezzük. $m-\dim A$

Példák

Egy lapos tori sorozat, amely izometrikus egy hosszúságú kör és az egységkör szorzatára, az egységkörre esik össze. Ebben az esetben a sorozat Gromov-Hausdorff értelemben egy körbe konvergál . $T_{n}$ ${\tfrac {1}{n))$ $T_{n}$

Tulajdonságok

Tegyük fel, hogy az egyszerűen összekapcsolt , metszeti görbületű Riemann-sokaságok sorozata a kóddimenzióval összeomlik . Ezután lehetővé teszi a -dimenziós tórusz hatékony működését minden nagy pályára, amelyek átmérője nullára hajlik. $m$ $M_{n}$ $|K(M_{n})|\leq 1$ $k$ $M_{n}$ $k$ $n$

Lásd még

A majdnem lapos sokaság olyan sokaság, amely beengedi a korlátos görbületű Riemann-metrikák sorozatát, amelyek egy pontig összeesnek.

Irodalom

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Metrikus geometria tanfolyam. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .