Heron iteratív képlete

A Heron iteratív képletének megvan a formája

x_{n+1}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\

ahol a egy rögzített pozitív szám, a pedig bármely pozitív szám. $x_{1}$

Az iteratív képlet egy csökkenő (a 2. elemtől kezdődő) sorozatot definiál, amely bármely választás esetén gyorsan konvergál az értékhez ( négyzetgyöke ), azaz. $x_{1}$ ${\sqrt {a}}$

\lim _{{n\rightarrow \infty }}x_{n}={\sqrt {a}}

Ezt a képletet úgy kaphatjuk meg, ha a Newton-módszert alkalmazzuk az egyenlet megoldására . $ax^{2}=0$

Példa

Próbáljuk meg kiszámítani a 25 négyzetgyökét a számítások kerekítésével. Legyen az értékre vonatkozó első tippünk a 3. ${\sqrt {25}}$

n	$x_{n}$	$x_{{n+1}}={\frac {1}{2}}~\left(x_{n}+{\frac {a}{x_{n}}}\right)\$	Hozzávetőleges érték $x_{{n+1}}$
egy	3	${\frac {1}{2}}~\left(3+{\frac {25}{3}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(3+8,33)={\frac {1}{2}}\cdot 11,33\kb. 5,67$
2	5.67	${\frac {1}{2}}~\left(5.67+{\frac {25}{5.67}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5,67+4,41)={\frac {1}{2}}\cdot 10,08=5,04$
3	5.04	${\frac {1}{2}}~\left(5.04+{\frac {25}{5.04}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5,04+4,96)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5$
négy	5	${\frac {1}{2}}~\left(5+{\frac {25}{5}}\right)\$	${\frac {1}{2}}~(5+5)={\frac {1}{2}}\cdot 10=5$

Geometriai értelmezés

Ennek a képletnek egyszerű geometriai értelmezése van. Tekintsünk egy a területű téglalapot x 1 oldallal . Iteratív négyzetesítést fogunk végrehajtani. Ugyanis az új téglalap egyik oldalát egyenlővé tesszük az előző lépés mindkét oldalának számtani átlagával. És vesszük a második oldalt úgy, hogy az új téglalap területe ismét egyenlő legyen a -val . A következő lépésekben ugyanezt a folyamatot megismételjük.

Heron iteratív képlete

Példa

Geometriai értelmezés

Irodalom