Hammerstein integrál egyenlet

A Hammerstein-integrálegyenlet egy nemlineáris integrálegyenlet , amelynek alakja: . Itt vannak az ismert függvények, és ez a szükséges függvény. [egy] $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)\Psi (s,\phi (s))ds+f(t)$ $K(t,s),\Psi (s,z),t(t)$ $\phi (t)$

Megoldás létezési tétele

A Hammerstein-egyenletnek legalább egy megoldása van, ha a következő feltételek teljesülnek [2] : $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi(s))ds$

egy kernellel rendelkező lineáris integrálegyenletre a Fredholm-tételek érvényesek, és az iterált kernel folytonos; $K(t, s)$ $K_{2}(t,s)$
a kernel szimmetrikus, azaz ; $K(t, s)$ $K(t,s)=K(s,t)$
a kernel pozitív határozott, azaz minden karakterisztikus száma pozitív; $K(t, s)$
függvény kielégíti a feltételt , ahol $K(t, s)$ ${\displaystyle \mid K(t,s)\mid \leqslant C_{1}\mid z\mid +C_{2))$

${\displaystyle C_{1},C_{2))$ - pozitív állandók, , - az atommag legkisebb jellemző száma ; $C_{1}<\lambda _{1}$ $\lambda _{1}$ $K(t, s)$

Megoldás egyediségi tételei

A Hammerstein-egyenletnek legfeljebb egy megoldása van, ha bármely fix esetén a függvény nem csökkenő függvény [2] . $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi(s))ds$ $s\in\left[a,b\right]$ $F(s,z)$ $z$

A Hammerstein-egyenletnek legfeljebb egy megoldása van, ha a függvény egyenletesen kielégíti a Lipschitz-feltételt , ahol [2] $\phi (t)=\int _{a}^{b}K(t,s)F(s,\phi(s))ds$ $F(s,z)$ $\mid F(s,z_{2})-F(s,z_{1})\mid <\alpha \mid z_{2}-z_{1}\mid$ ${\displaystyle 0<\alpha <\lambda _{1))$

Jegyzetek

↑ Krasznov, 1975 , p. 263.
↑ 1 2 3 Krasznov, 1975 , p. 270.

Irodalom

Krasznov M. L. Integrálegyenletek. — M .: Nauka, 1975. — 304 p.