Csillapított rezgések

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2022. január 12-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 16 szerkesztést igényelnek .

A csillapított oszcillációk olyan rezgések, amelyek energiája idővel csökken. A természetben a fajok végtelenül folytatódó folyamata lehetetlen. Bármely oszcillátor szabad rezgése előbb-utóbb elhalványul és leáll. Ezért a gyakorlatban általában csillapított oszcillációkkal kell foglalkozni. Jellemzőjük, hogy az A lengési amplitúdó egy csökkenő függvény. A csillapítás jellemzően a közeg ellenállási erőinek hatására következik be, leggyakrabban az oszcilláció sebességétől vagy annak négyzetétől való lineáris függésben. $u(t)=A\cos(\omega t+q)$ ${\displaystyle \scriptstyle u'_{t))$

Az akusztikában: csillapítás - a jelszint teljes hallhatatlanságig történő csökkentése.

Példa erre a rugós inga csillapított rezgései

Legyen egy rugóból álló rendszer ( a Hooke-törvény szerint ), amelynek egyik vége mereven rögzített, a másikon pedig egy m tömegű test . Az oszcilláció olyan közegben történik, ahol a légellenállási erő arányos a sebességgel, c együtthatóval (lásd viszkózus súrlódás ).

Ekkor Newton második törvénye a vizsgált rendszerre így írható fel

m{\vec {a}}={\vec {F}}_{c}+{\vec {F}}_{y},

hol az ellenállási erő és a rugalmas erő. Kiderül $F_{c}=-cv$ $F_{y}=-kx$

ma+cv+kx=0,

vagy differenciális formában

{\ddot {x}}+{c \over m}{\dot {x}}+{k \over m}x=0,

ahol a rugalmassági együttható a Hooke-törvényben , a légellenállási együttható, amely a súly sebessége és a keletkező ellenállási erő közötti összefüggést állapítja meg. $k$ $c$

Az egyszerűség kedvéért a következő jelölést vezetjük be:

\omega _{0}={\sqrt {k \over m)),\qquad \zeta ={c \over 2{\sqrt {km}}}.

Az értéket a rendszer sajátfrekvenciájának, csillapítási együtthatónak nevezzük. Ezzel a jelöléssel a differenciálegyenlet alakot ölt $\omega_0$ $\zeta$

{\ddot {x}}+2\zeta \omega _{0}{\dot {x}}+\omega _{0}^{2}x=0.

A csillapított rezgések egyenlete. Lehetséges megoldások

Az előző szakasz utolsó egyenlete egy mennyiség (amelynek általában nem kell koordinátának lennie) csillapított rezgéseinek általános egyenlete. Ha elvonatkoztatunk a paraméterek beszerzésének módjától és egy konkrét példában, egy ilyen egyenlet alkalmazható a csillapított rendszerek széles osztályának leírására. $x$ $\omega_0$ $\zeta$

A behelyettesítést követően megkapjuk a karakterisztikus egyenletet ${\displaystyle x=e^{\lambda t))$

\lambda ^{2}+2\zeta \omega _{0}\lambda +\omega _{0}^{2}=0,

amelynek gyökereit a képlet számítja ki

\lambda _{\pm }=\omega _{0}(-\zeta \pm {\sqrt {\zeta ^{2}-1))).

A csillapítási együttható értékétől függően a megoldás három lehetséges opcióra oszlik.

periodicitás

Ha , akkor két valós gyök van, és a differenciálegyenlet megoldása a következő alakot veszi fel: $\zeta >1$

{\displaystyle x(t)=c_{1}e^{\lambda _{-}\,t}+c_{2}e^{\lambda _{+}\,t))

Ebben az esetben az oszcillációk a kezdetektől exponenciálisan csillapodnak.

A periodicitás határa

Ha , a két valós gyök azonos , és az egyenlet megoldása: $\zeta=1$ ${\displaystyle \lambda =-\omega _{0))$

{\displaystyle x(t)=(c_{1}t+c_{2})e^{-\omega _{o}t))

Ebben az esetben előfordulhat átmeneti növekedés, de utána exponenciális csökkenés.

Gyenge csillapítás

Ha , akkor a karakterisztikus egyenlet megoldása két összetett konjugált gyök $\zeta <1$

{\displaystyle \lambda _{\pm }=-\omega _{0}\zeta \pm i\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2))))

Ekkor az eredeti differenciálegyenlet megoldása az

x(t)=e^{-\zeta \omega _{0}t}(c_{1}\cos(\omega _{\mathrm {d} }t)+c_{2}\sin( \omega _{\mathrm {d} }t)),

ahol a csillapított rezgések természetes frekvenciája. ${\displaystyle \omega _{d}=\omega _{0}{\sqrt {1-\zeta ^{2))))$

Az állandókat és minden esetben a kezdeti feltételekből határozzuk meg: $c_1$ $c_2$ $\left\{{\begin{array}{ccc}x(0)&=&a\\{\dot {x}}(0)&=&b\end{array}}\right.$

Lásd még

Irodalom

Lit .: Saveliev I. V., Általános fizika tanfolyam: Mechanika, 2001.