Geometriai programozás

A geometriai programozás a matematikai programozás egyik ága, amely egy speciális szerkezet nemlineáris optimalizálási problémáinak megoldását vizsgálja. A kifejezést először 1967 -ben vezette be R. Duffin, E. Peterson és K. Zener. A tudományág elnevezése abból adódik, hogy a bemutatott elméletben az egyik fő szempont a geometriai átlag és a számtani átlag közötti egyenlőtlenség és annak általánosításai. Néhány geometriai probléma és megoldási módszer a háziorvos fejlődésének előfeltétele volt. A háziorvos alapfogalma a posein .

Geometriai programozási feladat megfogalmazása

Keresse meg egy függvény minimális értékét megszorítások alatt: $g_{{0}}(t)$

t_{{1}}>0,t_{{2}}>0,...,t_{{m}}>0

és

g_{{1}}(t)\leqslant 1,g_{{2}}(t)\leqslant 1,...,g_{{p}}(t)\leqslant 1,

Itt

g_{{k}}(t)=\sum _{{i\in J[k]}}c_{{i}}t_{{1}}^{{a_{{i1}}}}t_{{ 2}}^{{a_{{i2}}}}...t_{{m}}^{{a_{{im}}}},k=0,1,...,p

ahol

J[k]=(m_{{k}},m_{{k}}+1,m_{{k}}+2,...,n_{{k}})k=0,1,.. ., p

és

m_{{0}}=1,m_{{1}}=n_{{0}}+1,m_{{2}}=n_{{1}}+1,...,m_{{p} }=n_{{p-1}}+1,n_{{p}}=p

Funkciók - pozinomák . $g_{{k}}(t)$

Példa a geometriai programozás problémáira

1. példa

Határozzuk meg egy adott kerületű, legnagyobb területű téglalap oldalainak hosszát! Ugyanez vonatkozik a háromszögre.

2. példa

\prod \limits _{{i=1}}^{{n}}x_{{i}}^{{\beta _{{i}}}}\rightarrow \max

korlátozások alatt

\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\alpha _{{i}}x_{{i}}=S,\ x_{i}>0,\ x_{i}\in {\mathbb {R}),

ahol $\beta _{i}>0,\ \alpha _{i}>0,\beta _{i}\in {\mathbb {R)),\alpha _{i}\in {\mathbb {R)) ,\ i=\overline {1,n},$

A probléma megoldása egy vektor komponensekkel ahol $x_{{}}^{{*}}$ $x_{{i}}^{{*}}={\frac {\beta _{i}S}{\alpha _{i}\beta }},$ $\ \beta =\sum \limits _{{i=1}}^{{n}}\beta _{i}.$

Kapcsolódó eredmények

Monom
Pozin

Irodalom

R. Duffin, E. Peterson, K. Zener. "Geometriai programozás – elmélet és alkalmazás". – 1967.
R. Duffin, E. Peterson, K. Zener. Geometriai programozás. - M . : Mir, 1972. - 311 p.