Kijelző variáció

A kijelző variációja a kijelző numerikus jellemzője, amely a differenciális tulajdonságaihoz kapcsolódik.

A "megjelenítési variáció" fogalmát S. Banach [1] határozta meg .

Kétdimenziós eset

Tekintsük a leképezési variáció meghatározását a kétdimenziós esetre.

Hagyja a térképezést

\alpha \colon x=f(u,\;v),\;y=\varphi (u,\;v),

ahol és négyzetfolytonos függvények. A leképezésről azt mondjuk, hogy korlátos variációja van, ha létezik olyan szám , amely a koordinátatengelyekkel párhuzamos oldalakkal nem átfedő négyzetek sorozatára az egyenlőtlenség $f(u,\;v)$ $\varphi (u,\;v)$ $D_{0}=[0,\;1]\times [0,\;1]$ $\alpha$ $M>0$ $D^{i}\subset D_{0}\;(i=1,\;2,\;\ldots )$ $u,\;v$

\sum _{i}\mathrm {mes} \,D_{xy}^{i}\leqslant M,

hol van a halmaz képe a leképezés alatt , ${\displaystyle D_{xy))$ $D^{i}\subset D_{0}$ $\alpha$

$\mathrm {mes} \,D$ a halmaz lapos Lebesgue-mértéke . $D$

A megjelenítési variáció számértéke többféleképpen határozható meg. Például, ha egy leképezésnek korlátozott a változatossága, akkor a változása a következő képlettel határozható meg: $V(\alpha )$ $\alpha$ $V(\alpha )$

V(\alpha )=\iint \limits _{-\infty }^{\quad +\infty }N(s,\;t)\,ds\,dt,

ahol a rendszer megoldásainak száma , vagy a leképezés úgynevezett Banach -indikátora . $N(s,\;t)$ $f(u,\;v)=s,\;\varphi (u,\;v)=t$ $\alpha$

Megmutatták [2] , hogy ha egy leképezésnek korlátos variációja van, akkor szinte mindenhol létezik egy általánosított jakobi , ahol , amely integrálható a -n . Ahol $\alpha$ $D_0$ $J(P)$ ${\displaystyle P\subset D_{0))$ $D_0$

J(P)\,{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\lim _{\mathrm {mes} \,K\to 0}{\frac {\mathrm {mes} \, K_{xy}}{\mathrm {mes} \,K}},

ahol a négyzet olyan pontot tartalmaz, amelynek oldalai párhuzamosak a tengellyel ; $K\subset D_{0}$ ${\displaystyle P\subset D_{0))$ $u,\;v$

${\displaystyle K_{xy))$ a készlet képe ; $K$

$\mathrm {mes} \,K$ a halmaz lapos Lebesgue-mértéke . $K$

Irodalom

Lavrentiev, M. A., Shabat, B. V. Egy komplex változó függvényelméletének módszerei. — M .: Nauka, 1987. — 688 p.
Griffiths, F. Külső differenciálrendszerek és a variációk számítása. — M .: Mir, 1986. — 360 p.
Kolmogorov, A. N., Fomin, S. V. A függvényelmélet és a funkcionális elemzés elemei. - 7. kiadás - M. : FIZMATLIT, 2004. - 572 p. — ISBN 5-9221-0266-4 . .

Jegyzetek

↑ Banach S. Fundamenta Mathematicae. - 1925. - t. 7. - p. 225--236.
↑ Kudrjavcev L. D. A függvények és leképezések elméletének metrikus kérdései. - ban ben. 1. - K., 1969. - p. 34-108