Pell szám

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. december 10-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A Pell-szám egy egész szám , amely nevezőként jelenik meg a 2 négyzetgyökének konvergenseinek végtelen sorozatában . Ez a közelítési sorozat a következőképpen kezdődik: , azaz az első Pell-számok 1, 2, 5, 12 és 29. Ugyanennek a közelítéssorozatnak a számlálói a hozzájuk tartozó Pell-számok vagy Pell-Luc-számok fele – egy végtelen 2, 6, 14, 34 és 82-vel kezdődő sorozat. ${\frac {1}{1)),{\frac {3}{2)),{\frac {7}{5)),{\frac {17}{12)),{\frac {41}{29}},\pontok$

Mindkét sorozat, a Pell-számok és a hozzá tartozó Pell-számok ismétlődési relációval számíthatók , hasonlóan a Fibonacci-számok képletéhez , és mindkét számsorozat exponenciálisan növekszik , az ezüstmetszet hatványával arányosan . $1+{\sqrt 2}$

Amellett, hogy a kettő négyzetgyökéhez közelítéseket használunk a folyamatos törtekben, a Pell-számok felhasználhatók négyzetháromszögszámok keresésére és néhány kombinatorikus számlálási probléma megoldására [1] .

A Pell-számok sorozata ősidők óta ismert. A Pell-egyenlethez hasonlóan a Pell- számokat Leonhard Euler tévesen John Pellnek tulajdonítja . A Pell-Luc számokat Eduard Lucról nevezték el , aki ezeket a sorozatokat tanulmányozta. Mind a Pell - számok , mind a hozzájuk tartozó Pell - számok a Lucas - sorozatok speciális esetei .

Pell számok

A pellszámokat egy lineáris ismétlődési összefüggés adja meg :

P_n=\begin{cases}0, n=0;\\1, n=1 \\2P_{n-1}+P_{n-2}, n>1 \end{esetek}

és a Lucas sorozat speciális esetei .

Az első néhány Pell-szám

0 , 1 , 2 , 5 , 12 , 29 , 70 , 169 , 408 , 985 , 2378 , … ( OEIS szekvencia A000129 ).

A pellszámok a képlettel fejezhetők ki

P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.

Nagy n érték esetén a kifejezés uralja ezt a kifejezést, így a Pell-számok nagyjából arányosak az ezüstmetszet hatványaival , ahogy a Fibonacci-számok is nagyjából arányosak az aranymetszés hatványaival . $\scriptstyle (1+\sqrt 2)^n$ $\scriptstyle (1+\sqrt 2)$

Egy harmadik definíció is lehetséges - mátrixképlet formájában

{\begin{pmatrix}P_{n+1}&P_{n}\\P_{n}&P_{n-1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&1\\1&0\end {pmátrix}}^{N-1}.

Ezekből a meghatározásokból sok azonosság igazolható, például a Fibonacci-számok Cassini-azonosságával analóg azonosság,

P_{n+1}P_{n-1}-P_{n}^{2}=(-1)^{N-1},

a mátrixformula azonnali következményeként (a mátrix determinánsok behelyettesítése a bal és a jobb oldalon) [2] .

Kettő négyzetgyökének közelítése

A Pell-számok történelmileg a 2 négyzetgyökének racionális közelítéséből származnak . Ha két x és y nagy egész szám megoldást ad a Pell-egyenletre

\displaystyle x^2-2y^2=\pm 1,

akkor arányuk közeli közelítést ad ahhoz . Az ilyen közelítések sorozata $\tfrac{x}{y}$ $\scriptstyle\sqrt 2$

1, \frac32, \frac75, \frac{17}{12}, \frac{41}{29}, \frac{99}{70}, \pontok

ahol az egyes törtek nevezője a Pell-szám, a számláló pedig a Pell-szám és a sorozatban szereplő elődjének összege. Így a közelítések alakja . $\tfrac{P_{n-1}+P_n}{P_n}$

Közelítés

\sqrt 2\approx\frac{577}{408}

ezt a típust a matematikusok ismerték Indiában a Krisztus előtti harmadik vagy negyedik században [3] . A Kr.e. V. századi görög matematikusok is tisztában voltak ezzel a közelítéssel [4] . Platón a számlálókat racionális átmérőknek nevezi [5] . A második században a szmirnai Theon az oldal és az átmérő kifejezéseket használta ennek a sorozatnak a nevezőjének és számlálójának leírására [6] .

Ezek a közelítések a következő törtből származtathatók : $\scriptstyle\sqrt 2$

\sqrt 2 = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots\, }}}}}}.

A folytonos tört véges része Pell-számok formájában ad egy közelítést. Például,

\frac{577}{408} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2}}}}}}}.

Ahogy Knuth (1994) írta, a Pell-számokkal való közelítés ténye lehetővé teszi, hogy ezeket egy szabályos nyolcszög racionális közelítésére használjuk csúcskoordinátákkal és . Ennek a nyolcszögnek minden csúcsa azonos távolságra van a középponttól, és majdnem azonos szögeket alkot. Továbbá a , és pontok egy nyolcszöget alkotnak, amelynek csúcsai majdnem egyenlő távolságra vannak a középponttól, és azonos szögeket alkotnak. $\scriptstyle\sqrt 2$ $(\pm P_i,\pm P_{i+1})$ $(\pm P_{i+1},\pm P_i)$ $(\pm(P_i+P_{i-1}),0)$ $(0,\pm(P_i+P_{i-1}))$ $(\pm P_i,\pm P_i)$

Egyszerűek és négyzetek

A prím Pell szám egy olyan Pell szám, amely egyben prímszám is . Néhány első Pell prím

2, 5, 29, 5741, … ( A086383 sorozat az OEIS -ben )

A Fibonacci-számokhoz hasonlóan egy Pell-szám is csak akkor lehet prím, ha n maga is prím. $P_{n}$

Csak három Pell-szám létezik, ezek négyzetek, kockák és más nagyobb hatványok - ezek 0, 1 és 169 = 13 2 [7] .

Annak ellenére, hogy a Pell-számok között olyan kevés a négyzet és más hatvány, ezek szoros kapcsolatban vannak a négyzetháromszögszámokkal [8] . Ezek a számok a következő azonosságból származnak:

\bigl((P_{k-1}+P_k)\cdot P_k\bigr)^2 = \frac{(P_{k-1}+P_k)^2\cdot\left((P_{k-1}+ P_k)^2-(-1)^k\jobbra)}{2}.

Ennek az azonosságnak a bal oldala egy négyzetszámot , míg a jobb oldala egy háromszögszámot ad , így az eredmény egy négyzet háromszög szám.

Santana és Diaz-Barrero (2006) egy másik azonosságot igazolt a Pell-számok és a négyzetek közötti összefüggésben azzal, hogy kimutatta, hogy a Pell-számok összege mindig négyzet: $P_{4n+1}$

\sum_{i=0}^{4n+1} P_i = \left(\sum_{r=0}^n 2^r{2n+1\choose 2r}\right)^2 = (P_{2n}+ P_{2n+1})^2.

Például a Pell-számok összege , -ig a négyzete . $P_5$ $0+1+2+5+12+29=49$ $P_2+P_3=2+5=7$

Azok a számok , amelyek az ilyen összegek négyzetgyökét alkotják, $P_{2n}+P_{2n+1}$

1, 7, 41, 239, 1393, 8119, 47321, … ( A002315 sorozat az OEIS -ben ),

Newman-Shanks-Williams prímszámként ismert .

Pitagorasz-hármasok

Ha egy derékszögű háromszögnek a , b , c oldalai vannak ( a Pitagorasz-tétel szerint a 2 + b 2 = c 2 ), akkor ( a , b , c ) Pitagorasz hármasoknak nevezzük . Martin (1875) azt írja, hogy a Pell-számok segítségével Pitagorasz-hármasokat képezhetünk, amelyekben a és b eggyel különbözik, ami egy majdnem egyenlő szárú derékszögű háromszögnek felel meg. Minden ilyen hármasnak megvan a formája

(2P_{n}P_{n+1}, P_{n+1}^2 - P_{n}^2, P_{n+1}^2 + P_{n}^2=P_{2n+1} ).

Az így kapott Pitagorasz-hármasok sorozata

(4,3,5), (20,21,29), (120,119,169), (696,697,985), ….

Pell-Luc számok

A kapcsolódó Pell-számokat vagy Pell-Luc-számokat a lineáris ismétlődési reláció határozza meg :

Q_n=\begin{cases}2, n=0\\2, n=1\\2Q_{n-1}+Q_{n-2}, n>1\end{cases}

Ez azt jelenti, hogy a sorozat első két száma 2, a többi pedig az előző Pell-Luc szám kétszeresének és az azt megelőző számnak az összege, vagy ennek megfelelően a következő Pell-szám és az előző szám összeadásával. . Így a 82 társa a 29, a 82 = 2 34 + 14 = 70 + 12.

A mellékelt Pell-számok sorozatot alkotnak:

2 , 2 , 6 , 14 , 34 , 82 , 198 , 478 , … ( OEIS szekvencia A002203 )

A mellékelt Pell-számok a következő képlettel fejezhetők ki:

Q_n=(1+\sqrt 2)^n+(1-\sqrt 2)^n.

Mindezek a számok párosak, mindegyik kettős számláló a racionális számokkal való közelítésben . $\scriptstyle\sqrt 2$

Számítástechnika és kommunikáció

A következő táblázat az ezüstmetszet első néhány fokát és a hozzátartozóit mutatja be . $\delta=\delta_S=1+\sqrt2$ $\bar{\delta}=1-\sqrt{2}$

$n$	$(1+\sqrt{2})^n$	$(1-\sqrt{2})^n$
0	$1+0\sqrt{2}=1,0$	$1-0\sqrt{2}=1,0$
egy	$1+1\sqrt{2}=2,41421\lpont$	$1-1\sqrt{2}=-0,41421\lpont$
2	$3+2\sqrt{2}=5,82842\lpont$	$3-2\sqrt{2}=0,17157\lpont$
3	$7+5\sqrt{2}=14,07106\lpont$	$7-5\sqrt{2}=-0,07106\lpont$
négy	$17+12\sqrt{2}=33,97056\lpont$	$17-12\sqrt{2}=0,02943\lpont$
5	$41+29\sqrt{2}=82,01219\lpont$	$41-29\sqrt{2}=-0,01219\lpont$
6	$99+70\sqrt{2}=197,9949\lpont$	$99-70\sqrt{2}=0,0050\lpont$
7	$239+169\sqrt{2}=478.00209\lpont$	$239-169\sqrt{2}=-0,00209\lpont$
nyolc	$577+408\sqrt{2}=1153,99913\lpont$	$577-408\sqrt{2}=0,00086\lpont$
9	$1393+985\sqrt{2}=2786.00035\ldots$	$1393-985\sqrt{2}=-0,00035\lpont$
tíz	$3363+2378\sqrt{2}=6725,99985\ldots$	$3363-2378\sqrt{2}=0,00014\lpont$
tizenegy	$8119+5741\sqrt{2}=16238.00006\ldots$	$8119-5741\sqrt{2}=-0,00006\lpont$
12	$19601+13860\sqrt{2}=39201.99997\ldots$	$19601-13860\sqrt{2}=0,00002\lpont$

Az együtthatók a kísérő Pell-számok és a Pell-számok fele , amelyek az egyenlet nem negatív megoldásai . $H_n$ $P_{n}$ $H^2-2P^2=\pm1$

A négyzet háromszög szám olyan szám , amely egyben a -edik háromszögszám és a -edik négyzetszám is. A majdnem egyenlő szárú Pitagorasz-hármasok egész megoldások , ahol . $N=\frac{t(t+1)}{2}=s^2$ $t$ $s$ $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ $a+1=b$

A következő táblázat a páratlan számok felosztását mutatja két majdnem azonos félre, így négyzetes háromszögszámot adunk, ha n páros, és majdnem egyenlő szárú Pitagorasz-hármast, ha n páratlan. $H_n$

$n$	$H_n$	$P_n$	t	t+1	s	a	b	c
0	egy	0	0	0	0
egy	egy	egy				0	egy	egy
2	3	2	egy	2	egy
3	7	5				3	négy	5
négy	17	12	nyolc	9	6
5	41	29				húsz	21	29
6	99	70	49	ötven	35
7	239	169				119	120	169
nyolc	577	408	288	289	204
9	1393	985				696	697	985
tíz	3363	2378	1681	1682	1189
tizenegy	8119	5741				4059	4060	5741
12	19601	13860	9800	9801	6930

Definíciók

A mellékelt Pell-számok és a Pell-számok fele több egyenértékű módon is megkapható: $H_n$ $P_{n}$

Hatványozás :

(1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt{2}

(1-\sqrt2)^n=H_n-P_n\sqrt{2}.

Honnan származik:

H_n=\frac{(1+\sqrt2)^n+(1-\sqrt2)^n}{2}.

és

P_n\sqrt2=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2}.

Pár ismétlődési relációk :

H_n=\begin{cases}1, n=0\\H_{n-1}+2P_{n-1}, n>0\end{esetek}

P_n=\begin{cases}0, n=0;\\H_{n-1}+P_{n-1}, n>0\end{cases}

vagy mátrix formában :

\begin{pmatrix} H_n \\ P_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} H_{n-1} \\ P_{n- 1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}.

Ily módon

\begin{pmatrix} H_n & 2P_n \\ P_n & H_n \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}^n .

Közelítések

A és közötti különbség egyenlő a -val, ami gyorsan nullára hajlik. Szóval nagyon közel . $H_n$ $P_n\sqrt2$ $(1-\sqrt2)^n \kb (-0,41421)^n$ $(1+\sqrt2)^n=H_n+P_n\sqrt2$ $2H_{n}$

Ebből a megfigyelésből az következik, hogy az egész számok aránya gyorsan közeledik , miközben és gyorsan közeledik . $\frac{H_n}{P_n}$ ${\sqrt 2}$ ${\frac {H_{n}}{H_{n-1}}}$ ${\frac {P_{n}}{P_{n-1}}}$ $1+{\sqrt {2}}$

H 2 − 2 P 2 = ±1

Mivel irracionális, nem kaphatjuk meg a , azaz a . A legjobb, amit kaphatunk, a vagy az . ${\sqrt 2}$ ${\frac {H}{P}}=2$ ${\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}}{P^{2}}}$ ${\frac {H^{2}}{P^{2}}}={\frac {2P^{2}-1}{P^{2}}}$ $\frac{H^2}{P^2}=\frac{2P^2+1}{P^2}$

A nem negatív megoldások a páros n párok , a megoldások pedig az n páratlan párok. $H^{2}-2P^{2}=1$ $H_n, P_n$ $H^{2}-2P^{2}=-1$ $H_n, P_n$

Ennek megértéséhez vegye figyelembe

H_{n+1}^{2}-2P_{n+1}^{2}=(H_{n}+2P_{n})^{2}-2(H_{n}+P_{ n})^{2}=-(H_{n}^{2}-2P_{n}^{2})

tehát a jellel kezdve váltakozik ( ). Vegyük észre, hogy minden pozitív megoldás megkapható az egyenlőség miatt kisebb indexű megoldásból . $H_{0}^{2}-2P_{0}^{2}=1$ $tizenegy$ $(2P-H)^{2}-2(HP)^{2}=-(H^{2}-2P^{2})$

Négyzet alakú háromszög számok

A szükséges egyenlőség ekvivalens -vel , amely az és helyettesítésekor válik be . Ezért az n- edik megoldás az és lesz ${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}$ $4t^{2}+4t+1=8s^{2}+1$ $H^2=2P^2+1$ $H=2t+1$ $P=2s$ $t_n=\frac{H_{2n}-1}{2}$ $s_n=\frac{P_{2n}}{2}.$

Vegye figyelembe, hogy a és viszonylag prímszámúak, tehát csak akkor lehetséges, ha szomszédos egész számok, hogy az egyik négyzet , a másik pedig kettős négyzet . Mivel ismerjük az egyenlet összes megoldását, azt kapjuk $t$ $t+1$ ${\frac {t(t+1)}{2}}=s^{2}$ $H^2$ $2P^2$

t_n=\begin{cases}2P_n^2&n \equiv 0\pmod 2 \\H_{n}^2&n\equiv 1 \pmod 2 \end{cases}

és $s_{n}=H_{n}P_{n}$

$n$	$H_n$	$P_n$	t	t+1	s	a	b	c
0	egy	0
egy	egy	egy	egy	2	egy	egy	0	egy
2	3	2	nyolc	9	6	3	négy	5
3	7	5	49	ötven	35	21	húsz	29
négy	17	12	288	289	204	119	120	169
5	41	29	1681	1682	1189	697	696	985
6	99	70	9800	9801	6930	4059	4060	5741

Pythagoras hármasai

Az egyenlőség csak a -ra igaz , ami helyettesítéskor a következőre változik . Ekkor az n- edik megoldás és $c^2=a^2+(a+1)^2=2a^2+2a+1$ $2c^2=4a^2+4a+2$ $2P^2=H^2+1$ $H=2a+1 \mbox{ és } P=c$ $a_n=\frac{H_{2n+1}-1}{2}$ $c_{n}={P_{2n+1}}.$

A fenti táblázat azt mutatja, hogy egy nagyságrendig , és egyenlőek és , while $a_n$ $b_n=a_n+1$ $H_nH_{n+1}$ $2P_nP_{n+1}$ $c_n=H_{n+1}P_n+P_{n+1}H_n.$

Jegyzetek

↑ Például a Sellers ( Sellers ) 2002-ben kimutatta, hogy a tökéletes egyezések száma az utak és a K 4 - e gráf derékszögű szorzatában a Pell-szám szorzataként számítható ki a megfelelő Fibonacci-számokkal.
↑ A mátrixképletet és annak következményeit lásd Ercolano (1979), Kilic és Tasci (2005). A Pell-számok egyéb azonosságait Horadam (1971) és Bicknell (1975) adta meg.
↑ Ezt a Shulba Szútrák rögzítik . Lásd például Dutkát (1986), aki Thibaut (1875) idézte.
↑ Lásd Knorr (1976) az ötödik századra való hivatkozást, amely megfelel Proklosz állításának, miszerint a számokat a pitagoreusok fedezték fel . A számok későbbi görög ismereteinek részletesebb tanulmányozása érdekében lásd: Thompson (1929), Vedova (1951), Ridenhour (1986), Knorr (1998) és Filep. (1999).
↑ Például Platón államában van utalás a „racionális ötös átmérőre”, ami alatt Platón a 7-et, a 7/5 közelítés számlálóját értette.
↑ A görög matematika története: Thalésztől Euklidészig - Sir Thomas Little Heath - Google Books . Letöltve: 2013. január 28. (határozatlan)
↑ Pethő (1992); Cohn (1996). Bár a Fibonacci-számokat a Pell-képletekhez nagyon hasonló rekurzív képletekkel határozzák meg, Cohn azt írja, hogy a Fibonacci-számokra vonatkozó hasonló eredményeket sokkal nehezebb bizonyítani (azonban Bugeaud 2006-ban bebizonyította).
↑ Sesskin (1962).

Irodalom

Bicknell, Marjorie. Primer a Pell-szekvenciáról és a kapcsolódó szekvenciákról // Fibonacci Quarterly . - 1975. - T. 13 , sz. 4 . - S. 345-349 .
Cohn, JHE Perfect Pell powers // Glasgow Mathematical Journal . - 1996. - T. 38 , sz. 1 . - S. 19-20 . - doi : 10.1017/S0017089500031207 .
Dutka, Jacques. A négyzetgyökökről és ábrázolásukról // Archívum az egzakt tudományok történetéhez . - 1986. - T. 36 , sz. 1 . - S. 21-39 . - doi : 10.1007/BF00357439 .
Ercolano, József. A Pell-szekvenciák mátrixgenerátorai // Fibonacci Quarterly . - 1979. - T. 17 , sz. 1 . - S. 71-77 .
Filep, László. Pitagorasz oldal- és átlószámok // Acta Mathematica Academiae Paedagogiace Nyíregyháziensis . - 1999. - T. 15 . – S. 1–7 .
Horadam, A.F. Pell identitások // Fibonacci Quarterly . - 1971. - T. 9 , sz. 3 . - S. 245-252, 263 .
Kilic, Emrah; Tasci, Dursun. A Pell-mátrix lineáris algebrája // Boletín de la Sociedad Matemática Mexicana , Tercera Serie. - 2005. - T. 11 , sz. 2 . - S. 163-174 .
Knorr, Wilbur. Archimedes és a kör mérése: Egy új értelmezés // Archívum az egzakt tudományok történetéhez . - 1976. - T. 15 , sz. 2 . - S. 115-140 . - doi : 10.1007/BF00348496 .
Knorr, Wilbur. A "racionális átmérők" és az összemérhetetlenség felfedezése // American Mathematical Monthly . - 1998. - T. 105 , sz. 5 . - S. 421-429 . - doi : 10.2307/3109803 .
Knuth, Donald E. Leaper grafikonok // The Mathematical Gazette . - 1994. - T. 78 , sz. 483 . - S. 274-297 . - doi : 10.2307/3620202 . - arXiv : math.CO/9411240 .
Martin, Artemas . Racionális derékszögű háromszögek közel egyenlő szárúak // Az elemző . - 1875. - T. 3 , sz. 2 . - S. 47-50 . - doi : 10.2307/2635906 . — .
Pethő, A. Halmazok, gráfok és számok (Budapest, 1991). — Colloq. Math. szoc. Bolyai János, 60, Észak-Holland, 1992, 561-568.
Ridenhour, JR Irracionális számok létraközelítései // Mathematics Magazine . - T. 59 , sz. 2 . - S. 95-105 . - doi : 10.2307/2690427 . — .
Santana, S. F.; Diaz-Barrero, JL . A Pell-számokat tartalmazó összegek néhány tulajdonsága // Missouri Journal of Mathematical Sciences . - 2006. - T. 18 , sz. 1 . Archiválva az eredetiből 2007. május 8-án.
Sellers, James A. Domino burkolólapok és Fibonacci- és Pell-számok termékei // Journal of Integer Sequences . - 2002. - T. 5 .
Sesskin, Sam. Egy "ellentét" Fermat utolsó tételével? // Matematikai Magazin . - 1962. - T. 35 , sz. 4 . - S. 215-217 . - doi : 10.2307/2688551 . — .
Thibaut, George. A Súlvasútrason // Journal of the Royal Asiatic Society of Bengal . - 1875. - T. 44 . - S. 227-275 .
Thompson, D'Arcy Wentworth. III.—Túlság és hiba: avagy a kicsit több és a kicsit kevesebb // Mind: New Series . - 1929. - T. 38 , sz. 149 . - S. 43-55 . — .
Vedova, GC Notes on Theon of Smyrna // American Mathematical Monthly . - 1951. - T. 58 , sz. 10 . - S. 675-683 . - doi : 10.2307/2307978 . — .

Linkek

Weisstein, Eric W. Pell Number (angolul) a Wolfram MathWorld webhelyén .