Salem számok

A matematikában a Salem-szám egy α > 1 valós algebrai egész szám , amelynek minden konjugátumának modulusa legfeljebb 1, és legalább az egyik modulusa 1. A Salem számok a diofantin közelítések és a harmonikus elemzés szempontjából érdekesek . Nevét Raphael Salem francia matematikusról kapták .

Tulajdonságok

Mivel a Salem-számnak van egy konjugált száma, amelynek abszolút értéke 1, a Salem-szám minimális polinomjának inverznek kell lennie . Ebből következik, hogy 1/α is gyök, és minden más gyök abszolút értéke pontosan egyenlő 1-gyel. Ennek következtében az α számnak invertálható elemnek (gyűrűegységnek) kell lennie az algebrai egész számok gyűrűjében , ami a 1- es norma .

Minden Salem -szám Perron-szám (egy 1-nél nagyobb algebrai egész szám, amelynek modulusa nagyobb, mint az összes konjugátum).

Kapcsolat a Pisot-Vijayaraghavan számokkal

A legkisebb ismert Salem-szám a Lehmer-polinom ( Derrick Lehmer amerikai matematikusról elnevezett ) legnagyobb valós gyöke.

P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+ x+1,

amelynek értéke x ≈ 1,177 628; ez a legkisebb Salem-szám és a lehető legkisebb Mahler-mérték egy irreducibilis, nem ciklikus polinomhoz [1] .

A Lehmer-polinom a rövidebb 12. fokú polinom tényezője,

Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,

amelynek mind a tizenkét gyökere kielégíti a kapcsolatot [2]

x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{ 90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1 )(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}

A Salem számok szorosan kapcsolódnak a Pisot-Vijayaraghavanhoz (PV-számok) . A PV számok közül a legkisebb a 3. fokú polinom egyetlen valós gyöke

x^{3}-x-1,

„ műanyag számként ” ismert, és körülbelül 1,324718. A PV-számok felhasználhatók Salem-számok családjának létrehozására, beleértve a legkisebbet is. Az általános módszer az, hogy egy n fokú PV-szám minimális P ( x ) polinomját és P* ( x ) inverz polinomját vegyük (amelynek együtthatói durván szólva a P ( ) polinom együtthatóinak „tükrözéséből” keletkeznek. x ) x n /2 ) függvényében, és oldja meg az egyenletet

x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)

n egész számhoz viszonyítva . Az egyik oldalt a másikból kivonva, a triviális tényezőket figyelembe véve és kiiktatva minimális polinomot kaphatunk bizonyos Salem-számokra. Például, ha veszünk egy műanyag számot, és a fenti plusz vagy mínusz helyett pluszt választunk, akkor:

x^{n}(x^{3}-x-1)=-x^{3}-x^{2}+1

és n = 8 esetén azt kapjuk

(x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3} +x+1)=0,

ahol a 10. fokú polinom a Lehmer-polinom. Nagyobb n érték felhasználásával polinomcsaládot kapunk, amelynek egyik gyöke megközelíti a képlékeny számot . Ezt úgy érthetjük meg, hogy kivonjuk az egyenlet mindkét oldalának n-edik hatványgyökét ,

{\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n))

Minél nagyobb n értéke, x annál jobban megközelíti az x 3 − x − 1 = 0 megoldást.[ pontosítás ] Ha pozitív előjelet választunk a plusz vagy mínusz helyére, akkor az x gyök az ellentétes képlékeny számhoz közelít[ mi? ] irányba. A következő legkisebb PV-szám minimális polinomjának felhasználása $x^{4}-x^{3}-1$

x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),

amely n = 7 esetén azt az alakot veszi fel

{\megjelenítési stílus (x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0}

az előzőben nem generált polinomi fokon, és gyöke x ≈ 1,216391… ami az ötödik legkisebb ismert Salem-szám. Ahogy n a végtelenbe megy, ez a család viszont az x 4 − x 3 − 1 = 0 nagyobb valós gyökébe kerül.

Jegyzetek

↑ Borwein (2002) 16. o
↑ D. Bailey és D. Broadhurst, A tizenhetedik rendű polilogaritmus létra

Irodalom

Borwein, PéterSzámítási kirándulások az elemzésben ésszámelméletben . - Springer-Verlag , 2002. - (CMS könyvek matematikából). — ISBN 0-387-95444-9 . Pasas. 3.
Boyd, David (2001), Salem szám , Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
MJ Mossinghoff. Kis Salem számok . Hozzáférés időpontja: 2016. január 7. (határozatlan)
Salem, R.Algebrai számok és Fourier-analízis (határozatlan) . – Boston, MA: DC Heath and Company, 1963. - (Heath matematikai monográfiák).

Algebrai számok
Fajták	Algebrai egész számok Csebisev csomópontok Konstruktív számok Eisenstein egésze Gauss-egészek Kummer gyűrű Perron számok Piso-Vijayaraghavan számok Kvadratikus irracionalitás ℚ Gyökerek az egységből Salem számok
Különleges	Conway állandó 3 √ 2 φ δS_ _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2