A részleges k - fa egyfajta gráf, vagy egy k - fa részgráfja, vagy olyan gráf, amelynek faszélessége nem haladja meg a k -t . Sok kombinatorikus NP-nehéz feladat gráfokon megoldható polinomiális időben, ha csak részleges k -fákra korlátozzuk magunkat, valamilyen korlátos k értékkel .
Bármely rögzített k állandó esetén a parciális k fák zárva vannak a gráf-mollok felvételének művelete alatt , ezért a Robertson-Seymour-tétel alapján egy ilyen gráfcsalád leírható a tiltott mollok véges halmazával . A részleges 1-fák pontosan erdők , és egyetlen tiltott kisebbségük a háromszög. Részleges 2-fák esetében az egyetlen tiltott mellék a teljes négycsúcsos gráf . A k értékének további növekedésével azonban nő a tiltott kiskorúak száma. A részleges 3-fák esetében négy tiltott mellék van: a teljes gráf öt csúcsgal, az oktaéder gráf hat csúcsgal, a Wagner-gráf nyolc csúcsgal és az ötágú prizmagráf tíz csúcstal [1] .
Számos olyan algoritmikus probléma, amely tetszőleges gráfokhoz NP-teljes , hatékonyan megoldható részleges k - fák esetén dinamikus programozással , ha ezeknek a gráfoknak a fabontását alkalmazzuk [2] [3] [4] .
Ha egy gráfcsalád faszélessége k által határolt , akkor ez egy részleges k -fák alcsaládja. Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező gráfcsaládok közé tartoznak a kaktuszok , pszeudoerdők , párhuzamos-szekvenciális gráfok , külső síkbeli gráfok , Halin -gráfok és Apollonius-gráfok [1] . Például a párhuzamos-szekvenciális gráfok részleges 2-fák alcsaládját alkotják. Pontosabban, egy gráf akkor és csak akkor egy részleges 2-fa, ha bármelyik csuklója párhuzamos-soros.
A strukturált programok fordítása során előforduló vezérlőfolyamat-gráfok is korlátozott faszélességűek, ami lehetővé teszi bizonyos feladatok, például a regiszterkiosztás hatékony végrehajtását [5] .