Objektív funkció

A célfüggvény több változó valós vagy egész függvénye , amelyet optimalizálni kell ( minimalizálás vagy maximalizálás ) valamilyen optimalizálási probléma megoldása érdekében. A kifejezést a matematikai programozásban, az operációkutatásban , a lineáris programozásban , a statisztikai döntéselméletben és a matematika egyéb, elsősorban alkalmazott területein használják, bár az optimalizálás célja lehet magának egy matematikai probléma megoldása is [1] . Az optimalizálási feladatban a célfüggvényen kívül a változókra korlátozások vonatkozhatnak egyenlőség- vagy egyenlőtlenség-rendszer formájában. Általános esetben a célfüggvény argumentumai tetszőleges halmazokon adhatók meg.

Példák

Sima függvények és egyenletrendszerek

Bármely egyenletrendszer megoldásának problémája

\left\{{\begin{mátrix}F_{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\\F_{2}(x_{1},x_{2 },\ldots ,x_{M})=0\\\lpont \\F_{N}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})=0\end{mátrix}}\ jobb.

a célfüggvény minimalizálásának problémájaként fogalmazható meg

S=\sum _{j=1}^{N}F_{j}^{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{M})\qquad (1)

Ha a függvények simaak, akkor a minimalizálási probléma megoldható gradiens módszerekkel .

Bármilyen sima célfüggvény esetén az összes változó tekintetében parciális deriváltnak számíthatunk. Az optimális célfüggvény lesz az egyik megoldás egy ilyen egyenletrendszerre. Egy függvény esetében ez a legkisebb négyzetek (LSM) egyenletrendszere lesz. Az eredeti rendszer bármely megoldása a legkisebb négyzetek rendszerének megoldása. Ha az eredeti rendszer inkonzisztens, akkor az LSM rendszer, amelynek mindig van megoldása, lehetővé teszi az eredeti rendszer hozzávetőleges megoldását. Az LSM rendszer egyenletek száma egybeesik az ismeretlenek számával, ami néha megkönnyíti a közös kezdeti rendszerek megoldását. $0$ $(egy)$

Lineáris programozás

A célfüggvény másik jól ismert példája a lineáris függvény, amely lineáris programozási problémákban fordul elő. A másodfokú célfüggvénnyel ellentétben a lineáris függvény optimalizálása csak akkor lehetséges, ha vannak megszorítások lineáris egyenlőség- vagy egyenlőtlenség-rendszer formájában.

Kombinatorikus optimalizálás

A kombinatorikus célfüggvény tipikus példája az utazó eladó probléma célfüggvénye . Ez a függvény megegyezik a gráf Hamilton-ciklusának hosszával . A gráfcsúcs - permutációk halmazán van megadva [2] , és a gráf élhosszúságú mátrixa határozza meg. Az ilyen problémák pontos megoldása gyakran a lehetőségek felsorolásán múlik. $n-1$

Jegyzetek

↑ Célfüggvény, matematikai programozás // Matematikai enciklopédikus szótár. - M . : "Baglyok. enciklopédia" , 1988.
↑ Egy ilyen egy az egyhez permutáció egy Hamilton-ciklust definiál gráf élhosszúságú aszimmetrikus mátrixra.

Lásd még

Optimalizálási módszerek

Irodalom

Burak Ya. I., Ogirko IV Hőmérsékletfüggő anyagjellemzőkkel rendelkező hengeres héj optimális melegítése // Mat. módszerek és fiz.-mekh. mezőket. - 1977. - Kiadás. 5. - S.26-30