Elosztási függvény

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. június 27-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Az eloszlásfüggvény a valószínűségszámításban olyan függvény, amely egy valószínűségi változó vagy véletlen vektor eloszlását jellemzi; annak a valószínűsége, hogy egy X valószínűségi változó x-nél kisebb értéket vesz fel, ahol x tetszőleges valós szám. Bizonyos feltételek mellett (lásd alább ) teljesen meghatározza a valószínűségi változót.

Definíció

Legyen adott egy valószínűségi tér és egy azon meghatározott eloszlású valószínűségi változó . Ekkor egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét a képlet által adott függvénynek nevezzük : $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ $x$ $\mathbb {P} ^{X}$ $x$ $F_{X}\colon \mathbb {R} \ to [0,1]$

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X\leqslant x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x]\jobb)

Vagyis egy valószínűségi változó eloszlásfüggvényét (valószínűségeit) olyan függvénynek nevezzük, amelynek értéke egy pontban megegyezik egy esemény valószínűségével , vagyis olyan eseménynek, amely csak azokból az elemi eredményekből áll, amelyekre . $x$ $F(x)$ $x$ $\{X\leqslant x\}$ $X(\omega )\leqslant x$

Tulajdonságok

$F_{X}$ folyamatos a jobb oldalon [1] : $\lim\limits_{\varepsilon \to 0+} F_X(x+\varepszilon) = F_X(x)$
$F_{X}$ nem csökken a teljes számegyenesen.
$\lim \limits _{x\to -\infty }F_{X}(x)=0$ .
$\lim \limits _{x\to +\infty }F_{X}(x)=1$ .
Egy valószínűségi változó eloszlása egyértelműen meghatározza az eloszlásfüggvényt. $\mathbb {P} ^{X}$
- Ennek a fordítottja is igaz: ha egy függvény kielégíti a fent felsorolt négy tulajdonságot, akkor van egy valószínűségi tér és egy valószínűségi változó definiálva rajta úgy, hogy ez az eloszlásfüggvénye. $F(x)$ $F(x)$
A jobboldali folytonosság definíciója szerint egy függvénynek bármely pontban van jobboldali határa , és ez megegyezik a függvény értékével abban a pontban. $F_{X}$ $F_{X}(x+)$ $x\in \mathbb {R}$ $F_{X}(x)$
- A nem-csökkenés miatt a függvénynek bármely pontban van egy bal oldali határértéke is , amely nem feltétlenül esik egybe a függvény értékével. Így a függvény vagy folytonos egy pontban, vagy van benne
az első típusú diszkontinuitás . $F_{X}$ $F_{X}(x-)$ $x\in \mathbb {R}$ $F_{X}$

Identitások

A valószínűség tulajdonságaiból az következik , hogy : $\forall x\in \mathbb {R} ,\;\forall a,b\in \mathbb {R}$ $a<b$

$\mathbb {P} (X>x)=1-F_{X}(x)$ ;
$\mathbb {P} (X<x)=F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (X\geqslant x)=1-F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (X=x)=F_{X}(x)-F_{X}(x-)$ ;
$\mathbb {P} (a<X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a)$ ;
$\mathbb {P} (a\leqslant X\leqslant b)=F_{X}(b)-F_{X}(a-)$ ;
$\mathbb {P} (a<X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a)$ ;
$\mathbb {P} (a\leqslant X<b)=F_{X}(b-)-F_{X}(a-)$ ;

Diszkrét eloszlások

Ha a valószínűségi változó diszkrét, azaz eloszlását a valószínűségi függvény egyértelműen megadja $x$

\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i=1,2,\lpont

akkor ennek a valószínűségi változónak az eloszlásfüggvénye darabonként állandó, és így írható fel: $F_{X}$

F_{X}(x)=\sum \limits _{i\colon x_{i}\leqslant x}p_{i}

Ez a függvény minden ponton folytonos úgy, hogy , és pontokban az első típusú szakadása van . $x\in \mathbb {R}$ $x\not =x_{i},\;\forall i$ $x=x_{i},\;\forall i$

Folyamatos terjesztések

Egy eloszlást folytonosnak mondunk, ha az eloszlásfüggvénye ilyen . Ebben az esetben: $\mathbb {P} ^{X}$ $F_{X}$

\mathbb {P} (X=x)=0,\;\forall x\in \mathbb {R}

és

F_{X}(x-0)=F_{X}(x),\;\all x\in \mathbb {R}

és ezért a képletek így néznek ki:

\mathbb {P} (X\in |a,b|)=F_{X}(b)-F_{X}(a)

ahol bármilyen intervallumot jelent, nyitott vagy zárt, véges vagy végtelen. $|a,b|$

Teljesen folyamatos elosztások

Egy eloszlást abszolút folytonosnak mondunk , ha szinte mindenhol ( a Lebesgue -mértékhez képest) létezik nemnegatív függvény , amely: $\mathbb {P} ^{X}$ $f_{X}(x)$

F_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}\!f_{X}(t)\,dt

A függvényt eloszlássűrűségnek nevezzük . Ismeretes, hogy az abszolút folytonos eloszlásfüggvény folytonos, sőt, ha , akkor , és $f_{X}$ $f_{X}\in C(\mathbb {R} )$ $F_{X}\in {\mathcal {D}}(\mathbb {R} )$

{\frac {d}{dx}}F_{X}(x)=f_{X}(x),\;\forall x\in \mathbb {R}

Változatok és általánosítások

Néha az orosz irodalomban az eloszlási függvény ilyen definícióját veszik:

F_{X}(x)=\mathbb {P} (X<x)\equiv \mathbb {P} ^{X}\left((-\infty ,x)\jobb)

Az így definiált eloszlásfüggvény a bal oldalon folyamatos lesz, a jobb oldalon nem.

Többváltozós eloszlásfüggvények

Legyen egy rögzített valószínűségi tér, és legyen véletlen vektor. Ekkor az eloszlás , amelyet egy véletlenvektor eloszlásának vagy a valószínűségi változók együttes eloszlásának neveznek , egy valószínűségi mérőszám a -n . Ennek az eloszlásnak a funkciója definíció szerint a következő: $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P})$ ${\displaystyle X=(X_{1},\ldots ,X_{n})\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{n))$ $\mathbb {P} ^{X}$ $x$ $X_{1},\lpontok ,X_{n}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $F_{X}\colon \mathbb {R} ^{n}\ to [0,1]$

F_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\mathbb {P} (X_{1}\leqslant x_{1},\ldots ,X_{n}\leqslant x_{n}) \equiv \mathbb {P} ^{X}\left(\prod \limits _{i=1}^{n}(-\infty ,x_{i}]\jobb)

ahol ebben az esetben a halmazok derékszögű szorzatát jelöli . $\prod$

A többdimenziós eloszlásfüggvények tulajdonságai hasonlóak az egydimenziós esethez. A többváltozós eloszlási függvények és a többváltozós eloszlásfüggvények közötti egy-egy megfelelés szintén megmarad. A valószínűségszámítási képletek azonban sokkal bonyolultabbá válnak, ezért az eloszlásfüggvényeket ritkán használják a -hoz . $\mathbb {R} ^{n}$ $n>1$

Lásd még

Valószínűségi sűrűség

Jegyzetek

↑ Shiryaev, A. N. Valószínűség. - M . : Nauka, 1980. - S. 45, 166.

Szótárak és enciklopédiák	Nagy dán Nagy katalán a világ körül
Bibliográfiai katalógusokban	GND : 4192219-0