Weber funkció

A Weber-függvény egy nem elemi függvény , amely az inhomogén Bessel-egyenlet sajátos megoldása :

z^{2}{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+z{\frac {df}{dz}}+(z^{2}-\nu ^ {2})f=-{\frac {(z+\nu )+(z-\nu )\cos(\pi z)}{\pi }}

A Weber-függvény integrált kifejezése:

{\mathsf {E}}_{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z \cdot \sin \theta )d\theta

{\mathsf {E}}_{\nu }(z)\cdot \sin(\pi \nu )={\mathsf {J}}_{-\nu }(z)-{\mathsf { J}}_{\nu }(z)\cdot \cos(\pi \nu )

Egész számok esetén a Weber függvény a Struve függvényhez kapcsolódik a következő összefüggésekkel: $n\geqslant 0$

{\mathsf {E}}_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n-1} {2}}\right]}{\frac {\Gamma \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\cdot (z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}-k\right)}}-{\mathsf {H}}_{-n}(z)

Irodalom