Bernoulli képlet

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2021. november 16-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzéshez 1 szerkesztés szükséges .

A Bernoulli -képlet a valószínűség-elmélet egy olyan képlete, amely lehetővé teszi, hogy meghatározza egy esemény bizonyos számú előfordulásának valószínűségét tetszőleges számú független próba esetén. A Bernoulli-képlet lehetővé teszi, hogy nagyszámú számítástól - a valószínűségek összeadásától és szorzásától - megszabaduljon kellően nagy számú teszttel. A képletet kidolgozó kiemelkedő svájci matematikusról, Jacob Bernoulliról kapta a nevét . $A$

Megfogalmazás

Tétel. Ha egy esemény bekövetkezésének valószínűsége minden próbában állandó, akkor annak a valószínűsége , hogy ez az esemény pontosan egyszer fog bekövetkezni a független kísérletekben egyenlő , ahol . [egy] $p$ ${\displaystyle P_{n}^{k))$ $k$ $n$ ${\displaystyle P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{nk))$ $q=1-p$

Bizonyítás

Legyen független próbák elvégzése, és ismert, hogy minden kísérlet eredményeként egy esemény valószínûséggel történik, és ezért nem valószínûséggel . Legyen a tesztelés során is a valószínűségek és változatlanok maradjanak. Mennyi annak a valószínűsége, hogy független kísérletek eredményeként egy esemény pontosan egyszer következik be? $n$ $A$ $P(A)=p$ $P({\bar {A)))=1-p=q$ $p$ $q$ $n$ $A$ $k$

Kiderült, hogy pontosan kiszámítható a teszteredmények „sikeres” kombinációinak száma, amelyeknél az esemény egyszer fordul elő független kísérletekben – pontosan ennyi kombinációk száma a következőképpen : $A$ $k$ $n$ $n$ $k$

C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(nk)!}}.

Ugyanakkor, mivel minden próba független, és kimenetele inkompatibilis (egy esemény vagy megtörténik, vagy nem), akkor a „sikeres” kombináció megszerzésének valószínűsége pontosan egyenlő . $A$ ${\displaystyle p^{k}q^{nk))$

Végül annak a valószínűségének meghatározásához, hogy egy esemény pontosan egyszer fordul elő független kísérletekben , össze kell adnia az összes „sikeres” kombináció megszerzésének valószínűségét. Az összes "sikeres" kombináció megszerzésének valószínűsége azonos és egyenlő , a "sikeres" kombinációk száma egyenlő , így végül a következőt kapjuk: $n$ $A$ $k$ ${\displaystyle p^{k}q^{nk))$ $C_{n}^{k}$

P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{nk}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^ {nk}.

Az utolsó kifejezés nem más, mint a Bernoulli-képlet. Hasznos megjegyezni azt is, hogy az eseménycsoport teljessége miatt igaz lesz

\sum _{k=0}^{n}(P_{n}^{k})=1.

Lásd még

Jegyzetek

↑ Gmurman V. E. Valószínűségszámítás és matematikai statisztika: tankönyv agglegényeknek . - 12. kiadás - M. : Yutypz, 2013. - 478 p. — ISBN 9785991626477 , 5991626472.

Linkek

A tesztek megismétlése. Bernoulli képlet