Dehn-Sommerville egyenletek

A Dehn-Somerville egyenletek lineáris relációk teljes halmaza egy egyszerű poliéder különböző méretű lapjainak számához . Ezek az egyenletek átírhatók egyszerű politópokra , mivel az utóbbiak kettős vagy egyszerű politópok.

Megfogalmazás

Adott egyszerű dimenziós poliéder esetén jelölje a dimenzió lapjainak számát ; különösen, . Vegye figyelembe a formális összeget $n$ $P$ $f_{k}$ $P$ $k$ $f_{n}=1$

{\displaystyle \sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k))

ahol , azaz az együtthatók természetes módon keletkeznek a bal oldali összeg zárójeleinek megnyitásakor. $h_{k}=\sum _{i\geqslant k}f_{i}(-1)^{ik}{\binom {i}{k))$ ${\displaystyle h_{k))$

Ekkor a Dehn-Somerville egyenletek alakja

{\displaystyle h_{k}=h_{nk))

minden egész számra . $k$

Kapcsolódó definíciók

A sorozatot a poliéder f-vektorának nevezzük. $(f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})$
A sorozatot a poliéder h-vektorának nevezzük. $(h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})$
- Ha egy általános helyzetben lévő lineáris függvény, azaz a poliéder összes csúcsa különböző szinten helyezkedik el , akkor egyenlő az index csúcsainak számával ; vagyis ebből a csúcsból pontosan élek mennek lefelé . A Dehn-Somerville egyenleteket úgy kapjuk meg , hogy helyettesítjük . $\ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $P$ $\ell$ ${\displaystyle h_{k))$ $P$ $k$ $k$ $\ell$ $\ell$ $-\ell$
  - Ezen túlmenően tetszőleges értékűre megkapjuk , ez nem triviális egyenlőtlenségeket ad a -vektorra. $h_{k}\geqslant 0$ $k$ $f$

Történelem

A 4. és 5. dimenzióban az összefüggéseket Max Dehn írta le [1] . Általános esetben az egyenleteket Duncan Somerville írta le 1927-ben.

Jegyzetek

↑ M. Dehn, 1905, "Die Eulersche Formel in Zusammenhang mit dem Inhalt in der nicht-Euklidischen Geometrie", Math. Ann. 61 (1905), 561-586

Irodalom

V. A. Timorin. Konvex poliéderek kombinatorikája . - MTSNMO, 2002. - ("Modern matematika" nyári iskola). — ISBN 5-94057-024-0 .