Ramanujan-Nagel egyenlet

A Ramanujan-Nagel egyenlet a számelméletben a következő formájú egyenlet :

2^{n}-7=x^{2},

Megköveteli az ismeretlenek természetes megoldásainak megtalálását és . $n$ $x$

Ez egy példa egy exponenciális diofantusz egyenletre . Az egyenlet Srinivasa Ramanujan indiai matematikus és Trygve Nagel norvég matematikus nevéhez fűződik .

Történelem

Ez az egyenlet a következő [1] feladat megoldása során merül fel : keresse meg az összes Mersenne-számot , azaz olyan alakú számot, amely egyidejűleg háromszög szám (vagyis formájú ). Az egyszerű átalakítások a következő eredményhez vezetnek: $($ $2^{b}-1)$ ${\frac {y(y+1)}{2}}$

{\begin{aligned}&\ 2^{b}-1={\frac {y(y+1)}{2}}\\[2pt]\Longleftrightarrow &\ 8(2^{b} -1)=4y(y+1)\\\Hosszú balra nyíl &\ 2^{b+3}-8=4y^{2}+4y\\\Hosszú jobbra nyíl &\ 2^{b+3}-7=4y ^{2}+4y+1\\\Hosszú balra nyíl &\ 2^{b+3}-7=(2y+1)^{2}\end{igazított}}

A csere elvégzése után megkapjuk a Ramanujan-Nagel egyenletet. $n=b+3;\ x=2y+1,$

Ramanujan 1913-ban úgy sejtette [2] , hogy ennek az egyenletnek csak öt egész megoldása van:

n	3	négy	5	7	tizenöt	( A060728 sorozat az OEIS -ben )
x	egy	3	5	tizenegy	181	( A038198 sorozat az OEIS -ben )

Mint általában, Ramanujan nem szolgáltatott bizonyítékot, és nem magyarázta meg, hogyan jutott egy ilyen hipotézishez. Ramanujantól függetlenül 1943-ban Wilhelm Jungren norvég matematikus is hasonló hipotézist terjesztett elő [3] . 1948-ban egy másik norvég matematikus, Trygve Nagel bizonyítékot publikált [4] [5] .

A megoldásoknak megfelelő "háromszög alakú Mersenne-számokat" gyakran Ramanujan-Nagel számoknak nevezik [1] :

{\frac {y(y+1)}{2}}={\frac {(x-1)(x+1)}{8}}

Ezek közül is öt van: 0, 1, 3, 15, 4095 ( A076046 sorozat az OEIS -ben ).

Változatok és általánosítások

A német matematikus , Karl Ludwig Siegel a forma valamivel általánosabb egyenletét vizsgálta:

x^{2}+D=AB^{n},

ahol az egész konstansok vannak, és meg kell találni a változók természetes értékeit . Siegel bebizonyította: ${\megjelenítési stílus D,A,B}$ $x,n$

ennek a diofantini egyenletnek a megoldásainak száma mindenképpen véges [6] ;
esetén az egyenletnek legfeljebb két megoldása van, kivéve a fent leírt esetet ; $A=1,B=2$ $D=7$
végtelenül sok olyan érték van, amelyre két megoldás létezik [7] , például . $D,$ $D=2^{m}-1$

Példa : Az egyenletnek hat megoldása van: $D=119,A=15,B=2.$ $x^{2}+119=15\cdot 2^{n},$

n	3	négy	5	6	nyolc	tizenöt
x	egy	tizenegy	19	129	61	701

Egy másik általánosítás a Lebesgue-Nagel egyenlet :

x^{2}+D=Ay^{n}

hol vannak egész szám állandók, és meg kell találni a változók természetes értékeit. Az egyenlet Victor Amede Lebesgue francia matematikusról kapta a nevét , aki 1850-ben megvizsgálta az egyenletet , és bebizonyította, hogy csak triviális megoldásai vannak [8] : ${\Displaystyle D,A}$ $x,y,n.$ ${\displaystyle x^{2}+1=y^{n))$

0^{2}+1=y^{0};\quad 0^{2}+1=1^{n};\quad x^{2}+1=(x^{2}+ 1)^{1}

Schori és Teideman [9] eredményeiből az következik , hogy a Lebesgue-Nagel egyenlet megoldásainak száma mindig véges [10] . Bugeaud, Mignotte és Sixek ilyen típusú egyenleteket [11] oldott meg és -vel . Különösen az eredeti Ramanujan-Nagel egyenlet általánosítása: $A=1$ $1\leqslant D\leqslant 100$

y^{n}-7=x^{2}\,

pozitív egész megoldásai vannak, ha x = 1, 3, 5, 11 és 181.

Lásd még

Pillai sejtése : Egy egyenletnek mindig csak véges számú megoldása van. $Ax^{n}-By^{m}=C$

Jegyzetek

↑ 1 2 Deza E., Deza M. Göndör számok. - M. : MTSNMO, 2016. - S. 203-205. — 349 p. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
↑ S. Ramanujan (1913). „464. kérdés”. J. Indian Math. Soc . 5 :130.
↑ Ljunggren W. Oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. - 1943. - 1. évf. 25. - 29. o.
↑ Nagell T. Løsning till oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. - 1948. - 1. évf. 30. - P. 62-64.
↑ Skolem, T.; Chowla, S.; és Lewis, DJ The Diophantine Equation and Related Problems. Proc. amer. Math. szoc. 10, 663-669, 1959. $2^{n+2}-7=x^{2}$
↑ Saradha, Srinivasan, 2008 , p. 207.
↑ Saradha, Srinivasan, 2008 , p. 208.
↑ Lebesgue, Victor-Amédée (1850). „Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x m = y 2 + 1” . nouv. Ann. Math. Ser. 1 . 9 , 178-181. Archiválva az eredetiből, ekkor: 2020-12-04 . Letöltve: 2021-02-18 . Elavult használt paraméter |deadlink=( súgó )
↑ Shorey TN, Tijdeman R. Exponenciális diofantin egyenletek. - Cambridge University Press , 1986. - Vol. 87. - P. 137-138. — (Cambridge Tracts in Mathematics). - ISBN 0-521-26826-5 . — .
↑ Saradha, Srinivasan, 2008 , p. 211.
↑ Yann Bugeaud; Maurice Mignotte; Samir Siksek (2006). „Klasszikus és moduláris megközelítések az exponenciális diofantikus egyenletekhez II. A Lebesgue–Nagell egyenlet”. kompozíciók. Matek . 142 , 31-62. arXiv : math/0405220 . DOI : 10.1112/S0010437X05001739 .

Irodalom

Nagell T. A diofantini egyenlet x 2 + 7 = 2 n // Ark. Mat.. - 1961. - T. 30. - P. 185-187. - . - doi : 10.1007/BF02592006 .
Saradha N., Srinivasan A. Általános Lebesgue–Ramanujan–Nagell egyenletek // Diophantine Equations. - Narosa, 2008. - P. 207-223. — ISBN 978-81-7319-898-4 .

Linkek

X értékei, amelyek N-nek felelnek meg a Ramanujan–Nagell egyenletben . wolfram mathworld. Letöltve: 2012. május 8.