Barker-egyenlet

A Barker -egyenlet egy implicit egyenlet, amely meghatározza az égitest helyzete ( igazi anomália ) és az idő közötti összefüggést, ha parabolapályán mozog [1] . Ezt az egyenletet széles körben alkalmazták az üstökösök [2] pályáinak tanulmányozása során , amelyek pályáinak excentricitása közel egységnyi. Jelenleg ezt az egyenletet használják az asztrodinamikában [2]

A Barker-egyenlethez vezető probléma

A kéttestes feladat megoldása megadja a pályaegyenletet polárkoordinátákban alakban

r={\frac {p}{1+e\,\cos \vartheta ))

hol a pályaparaméter; a pálya excentricitása; - valódi anomália - a test aktuális helyzetének sugárvektora és a periapszis iránya közötti szög. Másrészt Kepler második törvénye érvényes. $p$ $e$ $\vartheta$

r^{2}\,{\frac {d\vartheta }{dt}}=c

hol a terület állandó. Ezen egyenletek alapján könnyű olyan integrált kapni, amely összefüggésbe hozza az időt és a valódi anomáliát a pontokon és pályákon. $c$ $A_0$ $A_{1}$

{\displaystyle t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+e\,\cos \vartheta \right)^{2))))

Ennek az integrálnak a kiszámításának módja az excentricitás mértékétől függ (lásd a Kepler-egyenletet ). Parabolikus pálya esetén ebben az esetben a transzformációk triviális láncához jutunk $e=1$

t_{1}-t_{0}={\frac {p^{2}}{c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1} }{\frac {d\vartheta }{\left(1+\cos \vartheta \right)^{2}}}={\frac {p^{2}}{4\,c}}\,\int \limits _{\vartheta _{0}}^{\vartheta _{1}}\left(1+{\rm {tg}}^{2}{\frac {\vartheta }{2}}\jobbra) ^{2}\,d\vartheta =\left|{\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=z,\,d\vartheta ={\frac {2\,dz}{ 1+z^{2}}}\right|={\frac {p^{2}}{2\,c}}\int \limits _{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _ {0}}{2}}}^{{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}}\left(1+z^{2}\right)\,dz ={\frac {p^{2}}{2\,c}}\left[{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg} }{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\left({\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{1 }}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}\right)\right]

Tekintettel arra, hogy a pályaparaméter a területállandóhoz kapcsolódik

p={\frac {c^{2}}{\mu }}

ahol a központi test gravitációs paramétere , és a terület állandó, parabola mozgás esetén $\mu$

c=r_{\pi }\,v_{\pi }=r_{\pi }\,{\sqrt {\frac {2\,\mu }{r_{\pi ))))

hol van a periapszis távolsága; - sebesség a pericentrumban, ha egy parabola mentén haladunk, ami parabola sebesség . Ezután megkapjuk az orbit paramétert , és megkapjuk a végső kifejezést ${\displaystyle r_{\pi ))$ $v_{\pi }$ ${\displaystyle p=2\,r_{\pi ))$

t_{1}-t_{0}=r_{\pi }{\sqrt {\frac {2\,r_{\pi }}{\mu }}}\left[{\rm {tg}} {\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}{\frac {\vartheta _{0}}{2}}+{\frac {1}{3}}\ balra({\rm {tg))^{3}{\frac {\vartheta _{1}}{2}}-{\rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta _{0} }{2}}\jobbra)\jobbra]

Most elfogadjuk, hogy a pálya kezdőpontja a percenter, ezért a kapott függőséget alakítjuk át alakra. $\vartheta _{0}=0$

n\,\left(t-t_{0}\right)={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}+{\frac {1}{3}}{\ rm {tg}}^{3}{\frac {\vartheta }{2}}

hol van az égitest átlagos mozgása . Ennek eredményeként megkapjuk a forma köbös egyenletét $n={\sqrt {\frac {\mu }{2\,r_{\pi }^{3))))$

S+{\frac {1}{3}}\,S^{3}-M=0

ahol , az égitest pályájának átlagos anomáliája . Ezt az egyenletet Barker-egyenletnek nevezik . $S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}$ $M=n\,\left(t-t_{0}\right)$

Ez az egyenlet a valódi anomália implicit időbeli függését reprezentálja, amikor egy égitest egy parabolapályán mozog. $\vartheta (t)$

A Barker-egyenlet megoldása

Az egyenlet

S+{\frac {S^{3}}{3}}-M=0

egy Cardano-féle kanonikus formában írt köbös egyenlet, és analitikus megoldása van. Számítógépes algebra segítségével könnyen előállítható ez az egy valós és két összetett konjugált gyököt tartalmazó megoldás

S_{1}=x-{\frac {1}{x)),\quad S_{2,3}=-{\frac {x}{2))+{\frac {1}{2 \,x}}\pm i\,{\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\left(x+{\frac {1}{x}}\right)

ahol $x={\frac {1}{2}}\,{\sqrt[{3}]{12\,M+4\,{\sqrt {9\,M^{2}+4}} }}$

Ennek a problémának a fizikai jelentése csak a valódi gyökérnek felel meg, így írhatunk

S={\rm {tg}}{\frac {\vartheta }{2}}=x-{\frac {1}{x}}

Ennek a gyöknek a ismeretében kiszámítható a valódi anomália szinusza és koszinusza

\cos \vartheta ={\frac {1-S^{2}}{1+S^{2}}},\quad \sin \vartheta ={\frac {2\,S}{1+ S^{2}}}\quad

amelyekkel előjelüket figyelembe véve megállapítják a valódi anomáliát $\vartheta \in [0,\,2\,\pi )$

Barker-egyenlet

A Barker-egyenlethez vezető probléma

A Barker-egyenlet megoldása

Lásd még

Jegyzetek

Irodalom