Ultra limit

Az ultralimit olyan konstrukció, amely lehetővé teszi a matematikai objektumok széles osztályának határérték meghatározását. Különösen a metrikus térben lévő számsorozatokhoz és pontsorozatokhoz működik, és lehetővé teszi a metrikus terek sorozataira és a rajtuk lévő függvénysorozatokra vonatkozó általánosításokat.

Ezt a konstrukciót gyakran használják annak elkerülésére, hogy egy részsorozatra többször ugorjanak.

Ez a konstrukció egy nem fő ultraszűrő létezését használja fel , amelynek bizonyítása viszont a választás axiómáját használja .

Nem fő ultraszűrő

Emlékezzünk vissza, hogy a természetes számok halmazán lévő ultraszűrő a halmaz részhalmazainak halmaza , amely a metszés és a szuperhalmazba való átmenet művelete alatt zárva van, és bármely részhalmaz esetében tartalmaz vagy kiegészítést . $\omega$ $\mathbb {N}$ $\mathbb {N}$ $X\subset \mathbb {N}$ $x$ $\mathbb {N} \backslash X$

Az ultraszűrőt nem főszűrőnek nevezzük , ha nem tartalmaz véges halmazokat.

Definíciók

A következő egy nem fő ultraszűrő a természetes számok halmazán . $\omega$ $\mathbb {N}$

Pontok ultrakorlátja

Ha egy pontsorozat egy metrikus térben , akkor a pontot -limitnek nevezzük , ha minden részhalmazhoz ${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} ))$ $M$ $x_{\omega }\in M$ $\omega$ $(x_{n})$ $\varepsilon >0$

{\displaystyle \{\,n\in \mathbb {N} \mid d(x_{n},x_{\omega })\leqslant \varepsilon \,\))

tartalmazza . $\omega$

Ebben az esetben írják és jelölik őket vagy -val . ${\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n))$ $x_{n}\to x_{\omega }$ $n\to \omega$

A szóközök maximális száma

Legyen metrikus terek sorozata . Tekintsük az összes lehetséges pontsorozatot . Két ilyen sorozat esetén a távolságot a következőképpen határozzuk meg $(M_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ $x_{n}\in M_{n}$

|(x_{n})-(y_{n})|=\lim _{n\to \omega }|x_{n}-y_{n}|_{M_{n)).

A függvény egy pszeudometrikus értékekkel . A megfelelő -metrikus teret a sorozat -limitjének nevezzük . $((x_{n}),(y_{n}))\mapsto |(x_{n})-(y_{n})|$ $[0,\infty ]$ $\infty$ ${\displaystyle M_{\omega ))$ $\omega$ $M_{n}$

Ebben az esetben írják és jelölik őket vagy -val . ${\displaystyle M_{\omega }=\lim _{n\to \omega }M_{n))$ $M_{n}\to M_{\omega }$ $n\to \omega$

Ultrapower

Az ultraszűrő metrikus tereinek állandó sorozatának ultralimitjét ultrafok, -degree, ultracompletion vagy -completion is nevezik . Általában a -degre -t jelöli . $M_{n}=M$ $\omega$ $\omega$ $\omega$ $\omega$ $M$ ${\displaystyle M^{\omega ))$

${\displaystyle M^{\omega ))$ csak akkor esik egybe, ha kompakt. $M$ $M$

Tulajdonságok

Ha létezik egy pontsorozat -limitje, akkor az egyedi. $\omega$
Ha a metrikus tér kompakt, akkor bármely pontsorozat -korlátja létezik és egyedi. $\omega$
- Konkrétan a valós számok bármely korlátos sorozatának van egy jól meghatározott -korlátja a -ban . $\omega$ $\mathbb {R}$
$\omega$ -a sorozat limitje a privát korlátja .
- Különösen, ha , akkor a szokásos értelemben . ${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n))$ ${\displaystyle x=\lim _{n\to \omega }x_{n))$
A szekvencia ultralimitje eltérhet az alszekvencia ultralimitjétől.
Egyenlőség $f(\lim _{n\to \omega }x_{n})=\lim _{n\to \omega }f(x_{n})$

pontban meghatározott tetszőleges folytonos függvényre érvényes .

f

{\displaystyle x_{\omega }=\lim _{n\to \omega }x_{n))

Különösen: $\lim _{n\to \omega }(x_{n}+y_{n})=\lim _{n\to \omega }x_{n}+\lim _{n\to \omega } y_{n}$ $\lim _{n\to \omega }(x_{n}\cdot y_{n})=(\lim _{n\to \omega }x_{n})\cdot (\lim _{n \to \omega }y_{n})$

Lásd még

Ultraszűrő