Trilineáris interpoláció

A trilineáris interpoláció a többdimenziós interpoláció módszere háromdimenziós euklideszi térben. Lineárisan közelíti a függvény értékét a pontban a környező pontokban lévő ismert értékek felhasználásával. $f$ $(x,y,z)$

A trilineáris interpolációt gyakran használják a numerikus elemzésben és a számítógépes grafikában .

Összehasonlítás lineáris és bilineáris interpolációval

A trilineáris interpoláció a térben dimenzióval ható lineáris interpoláció és a dimenzióval térben ható bilineáris interpoláció kiterjesztése a dimenziótérre . A pont függvényértékeinek interpolálásához ismernie kell a környező 8 szomszédos pont értékeit . $D=1$ $D=2$ $D=3$ $(x,y,z)$ $f$ $(x,y,z)$

Valós függvény interpoláció

Tegyük fel, hogy egy függvény értékét a pontban szeretné interpolálni . Adjuk meg a függvény értékeit a környező pontokban , ahol , , , és , , . Sorozatosan végrehajtva minden méréshez lineáris interpolációt, a következő képletet kaphatja: $f$ $(x,y,z)$ $f$ $(x_{i},y_{j},z_{k})$ $i=1,2$ $j=1,2$ $k=1,2$ $x_{1}<x<x_{2}$ $y_{1}<y<y_{2}$ $z_{1}<z<z_{2}$

{\begin{aligned}f(x,y,z)&\approx {\frac {f(x_{1},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_) {1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x_{2}-x)(y_{2}-y)(z_{2}- z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{1},z_{1})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1 })(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f( x_{2},y_{1},z_{2})}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1}) }}(x-x_{1})(y_{2}-y)(z-z_{1})+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{1) })}{(x_{2}-x_{1})(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y- y_{1})(z_{2}-z)+\\&+{\frac {f(x_{2},y_{2},z_{2})}{(x_{2}-x_{1) })(y_{2}-y_{1})(z_{2}-z_{1})}}(x-x_{1})(y-y_{1})(z-z_{1}) .\end{igazított}}

Különösen az egységkockában ( ): $x_{1}=y_{1}=z_{1}=0,\quad x_{2}=y_{2}=z_{2}=1$

{\begin{aligned}f(x,y,z)&\approx f(0,0,0)\cdot (1-x)(1-y)(1-z)+\\&+ f(0,0,1)\cdot (1-x)(1-y)z+\\&+f(0,1,0)\cdot (1-x)y(1-z)+\\& +f(0,1,1)\cdot (1-x)yz+\\&+f(1,0,0)\cdot x(1-y)(1-z)+\\&+f(1 ,0,1)\cdot x(1-y)z+\\&+f(1,1,0)\cdot xy(1-z)+\\&+f(1,1,1)\cdot xyz .\end{igazított}}