Trigonometrikus Fourier transzformációk

A szinuszos Fourier transzformáció és a koszinusz Fourier transzformáció néhány olyan Fourier transzformáció típus, amely nem használ komplex számokat .

Definíció

Szinusz Fourier transzformáció vagy függvények egyenlő ${\hat {f}}^{s}$ ${\mathcal {F}}_{s}(f)$ $f(t)$

2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt.

, ahol

t

— idő, — rezgési frekvencia.

\nu

A függvény páratlan -ben , azaz ${\hat {f}}^{s}(\nu )$ $\nu$

{\hat {f}}^{s}(\nu )=-{\hat {f}}^{s}(-\nu )

bármely .

\nu

Koszinusz Fourier transzformáció vagy függvények egyenlő ${\hat {f}}^{c}$ ${\mathcal {F}}_{c}(f)$ $f(t)$

2\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt.

ahol

t

— idő, — rezgési frekvencia.

\nu

A függvény páros -ben van, azaz bármely . ${\hat {f}}^{c}(\nu )$ $\nu$ ${\hat {f}}^{c}(\nu )={\hat {f}}^{c}(-\nu )$ $\nu$

Az eredeti függvény a képlettel kereshető meg $f(t)$

f(t)=\int _{0}^{\infty }{\hat {f))^{c}\cos(2\pi \nu t)d\nu +\int _{0} ^{\infty }{\hat {f}}^{s}\sin(2\pi \nu t)d\nu .

A koszinusz összeadási képletével azt kapjuk

{\frac {\pi }{2}}(f(x+0)+f(x-0))=\int _{0}^{\infty }\int _{-\infty }^ {\infty }\cos \omega (tx)f(t)dtd\omega ,

, ahol

f(x+0)

f(x-0)

Ha a függvény páros, akkor a képlet szinuszos része eltűnik, ha páratlan, akkor a koszinusz eltűnik. $f(t)$ $f(t)$

Manapság gyakrabban használják a szinuszos és koszinuszos Fourier-transzformációk összetett formájú képletét

{\hat {f))(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-2\pi i\nu t}\,dt.

Az Euler-képlet segítségével megkapjuk

{\hat {f))(\nu )=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)(\cos \,{2\pi \nu t}-i\ ,\sin {2\pi \nu t})\,dt=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\cos \,{2\pi \nu t}\,dt -i\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)\sin \,{2\pi \nu t}\,dt={\frac {1}{2}}{\hat {f}}^{c}(\nu )-{\frac {i}{2}}{\hat {f}}^{s}(\nu ).

Whittaker, Edmund és James Watson, A kurzus a modern elemzésből , negyedik kiadás, Cambridge Univ. Nyomda, 1927, 189., 211. o