Transzponálás (matematika)

A matematikában az átültetés egy halmaz önmagába való bijektálása , amely a halmaz két elemét átrendezi.

Formális definíció

Legyen adott egy véges halmaz , a transzpozíció rajta egy olyan permutáció ( bijektív függvény tól- ig ) , hogy vannak olyan indexek és olyanok, hogy és az összes többi indexre ${\displaystyle X=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\))$ $x$ $x$ $f$ $én$ $j$ ${\displaystyle f(a_{i})=a_{j))$ ${\displaystyle f(a_{j})=a_{i))$ ${\displaystyle f(a_{k})=a_{k))$ $k.$

Az átültetést gyakran ciklusként ábrázolják $(a_{i},a_{j}).$

Példa

Például ha , akkor a függvény a következőképpen van definiálva ${\displaystyle X=\{a,b,c,d,e\))$ $\sigma$

{\begin{mátrix}\sigma (a)&=&a\\\sigma (b)&=&e\\\sigma (c)&=&c\\\sigma (d)&=&d\\\ szigma (e)&=&b\end{mátrix}},

akkor ez a permutáció transzpozíció.

Tulajdonságok

Bármely permutáció ábrázolható transzpozíciók összetételeként (termékeként).

A permutáció előjele egy permutáció transzpozíciók szorzatára való felbontásából határozható meg: , ahol a transzpozíciók száma a dekompozícióban. ${\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )=(-1)^{m))$ $m$

Lásd még

permutáció