Valószínűségi áram

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2020. március 25-én felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 2 szerkesztést igényelnek .

A kvantummechanikában a valószínűségi áram (vagy valószínűségi fluxus ) írja le a valószínűségi sűrűségfüggvény változását .

Definíció

A valószínűségi áramot a következőképpen határozzuk meg $\vec j$

{\vec j}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\ right)={\frac \hbar m}{\mbox{Im}}(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi )

és kielégíti a kvantummechanikai folytonossági egyenletet

{\frac {\partial \rho }{\partial t))+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}=0

által megadott valószínűségi sűrűséggel $\rho$

{\displaystyle \rho =|\Psi |^{2))

A folytonossági egyenlet ekvivalens a következő integrálegyenlettel:

{\frac {\partial }{\partial t))\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV+\int \limits _{S}{\vec j}\cdot {\vec {dS }}=0

hol van a térfogat és a térfogat határa . Ez a valószínűségi sűrűség megmaradási törvénye a kvantummechanikában. $V$ $S$ $V$

Különösen, ha egy egyedi részecske hullámfüggvénye , az előző egyenlet első tagjában lévő integrál (az idő deriváltja nélkül) annak a valószínűsége, hogy a részecske helyzetének mérésekor egy értéket kapunk. A második tag az a sebesség, amellyel a valószínűség „kifolyik” a térfogatból . $\psi$ $V$ $V$

Általában az egyenlet azt mondja, hogy a részecske megtalálásának valószínűségének időbeli deriváltja megegyezik azzal a sebességgel, amellyel a valószínűség "áram" -ból . $V$ $V$

Példák

Plane wave

Síkhullámhoz köthető valószínűségi áram

\Psi =Ae^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}e^{-i\omega t}

űrlapba lesz írva

{\vec j}={\frac {\hbar }{2mi}}|A|^{2}\left(e^{{-i{\vec k}\cdot {\vec r}}}{\vec \nabla }e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}-e^{{i{\vec k}\cdot {\vec r}}}{\vec \nabla }e^ {{-i{\vec k}\cdot {\vec r}}}\right)=|A|^{2}{\frac {\hbar {\vec k}}{m}}.

Ez a hullám amplitúdója és a részecskesebesség négyzetének szorzata:

{\vec v}={\frac {{\vec p}}{m}}={\frac {\hbar {\vec k}}{m}}

Vegye figyelembe, hogy a valószínűségi áram nem nulla, még akkor is, ha a síkhullámok stacionárius állapotok , és ezért

{\frac {d|\Psi |^{2}}{dt}}=0

mindenhol. Ez azt mutatja, hogy a részecske akkor is tud mozogni, ha a térbeli valószínűségi sűrűsége nincs kifejezett időfüggő.

Részecske egy dobozban

Egy egydimenziós, végtelen hosszúságú ( ) falú doboz esetén a hullámfüggvények a következő formában lesznek felírva $L$ $0<x<L$

\Psi _{n}={\sqrt {{\frac {2}{L}}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\jobb)

a gödörtől jobbra és balra pedig nulla. Ekkor az áramot a formába írjuk

j_{n}={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\ Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0

mert a $\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}.$

A folytonossági egyenlet levezetése

Ebben a részben a folytonossági egyenlet a valószínűségi áram definíciójából és a kvantummechanika alapelveiből származik.

Tegyük fel, hogy ez egy részecske hullámfüggvénye, három változótól függően , , és ). Akkor $\psi$ $x$ $y$ $z$

P=\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV

meghatározza a részecske helyzetének mérési valószínűségét a V térfogatban . Az idő derivált a formába lesz írva

{\frac {dP}{dt}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \limits _{V}|\Psi |^{2}dV=\int \limits _{V} \left({\frac {\partial \Psi }{\partial t}}\Psi ^{*}+\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial t}}\right)dV

ahol az utolsó egyenlőség azt jelenti, hogy az időre vonatkozó parciális derivált az integrál alá vihető (a térfogat alakja nem függ az időtől). A további egyszerűsítés érdekében vegyük figyelembe a nem stacionárius Schrödinger-egyenletet $V$

i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi +V\Psi

és használja a következő idő deriváltjának kinyerésére : $\psi$

{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {i\hbar }{2m}}\nabla ^{2}\Psi -{\frac {i}{\hbar }}V\ psi

Az előző egyenletbe való behelyettesítés eredménye ad ${\frac {dP}{dt))$

{\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -\ Psi \nabla ^{2}\Psi ^{*}\right)dV

Most a divergenciára való áttérés után

\nabla \cdot \left(\Psi ^{*}{\vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\right)={\vec \nabla }\Psi ^{ *}\cdot {\vec \nabla }\Psi +\Psi ^{*}\nabla ^{2}\Psi -{\vec \nabla }\Psi \cdot {\vec \nabla }\Psi ^{*} -\Psi {\vec \nabla }^{2}\Psi ^{*}

és mivel az első és a harmadik feltétel hatályát veszti:

{\frac {dP}{dt}}=-\int \limits _{V}{\vec \nabla }\cdot {\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\ vec \nabla }\Psi -\Psi {\vec \nabla }\Psi ^{*}\right)dV

Ha most felidézzük a for kifejezést, és megjegyezzük, hogy az a kifejezés, amelyre a nabla operátor hat , akkor megírjuk a kifejezést $P$ $\vec j$

\int \limits _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}\right)dV =0

amely a folytonossági egyenlet integrál alakja. A differenciálforma abból adódik, hogy az előző egyenlet minden térfogatra érvényes, és az integrál elhagyható: $V$

{\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}+{\vec \nabla }\cdot {\vec j}=0.