Lagrange-szorzó teszt

A Lagrange szorzóteszt ( Eng. Lagrange szorzóteszt, Score teszt ) egy statisztikai teszt , amelyet a statisztikai modellek mintaadatokból becsült paramétereire vonatkozó korlátok tesztelésére használnak . Ez a három alapvető kényszerteszt egyike a valószínűségi arány teszt és a Wald teszt mellett . A teszt aszimptotikus, azaz kellően nagy mintaszám szükséges a következtetések megbízhatóságához.

A teszt lényege és menete

Legyen egy ökonometriai modell b paramétervektorral. A hipotézist mintaadatokkal kell tesztelni , ahol g néhány paraméterfüggvény halmaza (vektora). A teszt ötlete a Lagrange-szorzók jól ismert módszerének alkalmazásán alapul egy korlátozott (rövid) modell paramétereinek becslésére, egy korlátozás nélküli modellen (hosszú modell). Legyen a hosszú modell log-likelihood értéke . A rövid modell becsléséhez meg kell alkotni a Lagrange függvényt $H_{0}:~g(b)=0$ $l(b)$

$F(b,\lambda )=l(b)-\lambda ^{T}g(b)$

Ekkor a maximális feltételek így fognak kinézni:

${\frac {\partial F(b,\lambda )}{\partial b))={\frac {\partial l(b)}{\partial b))-G(b)\lambda =0~,~ ~g(b)=0~,~G(b)={\frac {\partial g(b)}{\partial b))$

A teszt azon alapul, hogy ha a megszorítások teljesülnek, akkor a Lagrange-szorzóknak nullának kell lenniük. Mivel a becsült értékeket a paraméterek valódi értékei helyett használjuk, a Lagrange-szorzóknak egyszerűen a lehető legközelebb kell lenniük a nullához, vagyis kimutatható, hogy a Lagrange-szorzók becslései normális eloszlásúak. nulla matematikai várakozással és a hosszú modellparaméter-becslések kovarianciamátrixától függő kovarianciamátrixszal. Aztán a tesztstatisztika $(GV_{{{\hat {b}}}}G^{T})^{{-1}}$

$LM=\lambda ^{T}GV_{({\hat {b}}}}G^{T}\lambda$

Khi-négyzet eloszlású lesz, q szabadságfokkal, ahol q a kényszerek száma.

Különleges esetek

A lineáris regressziós modell lineáris kényszereinek tesztelésekor az LM statisztika egyenlő lesz

Megmutatható, hogy egy klasszikus lineáris modell esetében az LM-statisztika az

$LM={\frac {ESS_{S}-ESS_{L}}{ESS_{S}/n}}$

Különösen a regresszió egészének szignifikanciájának ellenőrzésekor (vagyis annak a hipotézisnek a tesztelésekor, hogy az állandótól eltérő tényezők összes együtthatója nulla) - a négyzetek teljes összege (a függő változó varianciája szorozva n-nel ). Következésképpen, $ESS_{S}=TSS$

$LM={\frac {TSS-ESS}{TSS/n}}=n(1-ESS/TSS)=nR^{2}$ ,

ahol a determinációs együttható . $R^2$

Kapcsolat más tesztekkel

Bizonyítottuk, hogy a Wald-teszt (W), a valószínűségi arány teszt (LR) és a Lagrange-szorzóteszt (LM) aszimptotikusan egyenértékű tesztek (LM=LR=W). Véges minták esetén azonban a statisztikák értékei nem egyeznek. Lineáris kényszereknél az egyenlőtlenség bizonyított . Így a Lagrange-szorzók tesztje más teszteknél gyakrabban fogadja el a korlátozásokkal kapcsolatos nullhipotézist (ritkábban, mint mások elutasítják). Nemlineáris kényszerek esetén az egyenlőtlenség első része teljesül, míg a második része általában nem. $LM\leqslant LR\leqslant W$

Az LM-teszt helyett használhatja az aszimptotikus F-tesztet , amelynek statisztikái az alábbiak szerint kapcsolódnak az LM-statisztikához:

$F={\frac {LM}{n-LM}}{\frac {nk}{q}}~{\xjobbra {d}}~F(q,nk)$ ,

ahol k a modellparaméterek száma.

Sok esetben kis mintákon egy ilyen teszt még előnyösebb, mint az eredeti LM-teszt.

Lásd még

Irodalom

Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometrics. - M . : Delo, 2004. - 576 p.
William H. Greene. Ökonometriai elemzés . - New York: Pearson Education, Inc., 2003. - 1026 p.