Chern-Simons elmélet

A Chern-Simons elmélet egy háromdimenziós topológiai Schwartz-típusú kvantumtérelmélet , amelyet Edward Witten javasolt . Nevét a Zhen Xingshen (Chern) és James Simons geometriákról kapta . Az elméletet azért nevezték így, mert hatása arányos a Chern-Simons formával.

A kondenzált anyag fizikában a Chern–Simons-elmélet a törtkvantum Hall-effektus állapotainak topológiai sorrendjét írja le . Matematikai szempontból a Chern-Simons elmélet azért érdekes, mert lehetővé teszi a csomóinvariánsok kiszámítását , például a Jones-polinomot .

A Chern-Simons elméletet egy egyszerű G Lie-csoport , az elmélet mérőcsoportjának és egy k szám kiválasztása határozza meg, amely tényezőként lép be a cselekvésbe, és amelyet az elmélet szintjének nevezünk. Az elmélet működése a mérőeszköz megválasztásától függ, de a kvantumtérelmélet generáló függvénye a szint egész értékére egyedileg meghatározott.

Klasszikus elmélet

A Chern-Simons elmélet definiálható tetszőleges topológiai 3-sokaságon , határral vagy anélkül. Mivel ez az elmélet Schwartz típusú, nem szükséges metrikát bevezetni M -en .

A Chern-Simons elmélet egy szelvényelmélet, vagyis a klasszikus térkonfigurációkat egy M -re vonatkozó elméletben egy G szelvénycsoporttal egy fő G - köteg írja le M felett . Az M feletti fő G -köteg összefüggő alakját jelöli, értéket vesz fel a Lie algebrában g . Általános esetben az A összeköttetést külön térképeken határozzák meg, az A értékeit a különböző térképeken mérőtranszformációk kapcsolják össze. A mérőtranszformációkra jellemző, hogy a kovariáns derivált G adjunkt reprezentációjában transzformálódik . $A:M\to g$ $D=d+A$

Ezután a műveletet így írják le:

S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}\mathrm {tr} (A\wedge dA+{\frac {2}{3}}A\wedge A\wedge A )

Mutassuk be a kapcsolat görbületét

F=DA=dA+A\wedge A\in \Omega ^{2}(M,g)

Ekkor a mozgásegyenlet alakot ölt

{\frac {\delta S}{\delta A))=0={\frac {k}{2\pi }}F

A megoldások lapos kapcsolatok, amelyeket holonómia határoz meg az M -en nem összehúzható ciklusok körül . A lapos kapcsolatok egy az egyben megfelelnek a homomorfizmusok ekvivalenciaosztályainak az M alapcsoporttól a G mérőeszközcsoportig .

Bár a művelet a mérőeszköztől függ, a generáló funkcionális kvantumelméletben jól definiált k egész számra .

Ha M -nek van határa , akkor vannak további adatok, amelyek leírják a fő G -köteg trivializálását N -en . Egy ilyen választás N -ről G -re való leképezést határoz meg . Ennek a leképezésnek a dinamikáját a WZW modell írja le N -en k szinten . $N=\partial M$

Tekintsük a Chern-Simons akció mérőeszköz-transzformációját. A g szelvénytranszformáció alatt az A csatlakozási forma asként alakul

A_{\mu }\to g^{*}A=g^{-1}A_{\mu }g+g^{-1}\partial _{\mu }g

A Chern-Simons akcióhoz megvan

S(g^{*}A)=S(A)+{\frac {k}{4\pi }}\int _{\partial M}\mathrm {Tr} (A\wedge dg\; g^{-1})-2\pi k\int _{M}g^{*}\sigma

Itt

\sigma ={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\mathrm {Tr} (\mu \wedge \mu \wedge \mu )

hol van a Maurer-Cartan forma. $\mu =X^{-1}dX,X\in G$

A határon definiált művelethez kapjuk a kiegészítést. Úgy néz ki , mint a Vess - Zumino tagja . A kvantumkorrelátorok mérőváltozatlanságának követelményéből a k kvantálást kapjuk , mivel a funkcionális integrált egyedileg kell meghatározni.

Kvantálás

A Chern-Simons elmélet kanonikus kvantálásában minden kétdimenziós felületen definiálunk egy állapotot . Mint minden kvantumtérelméletben, az állapotok a Hilbert-tér sugarainak felelnek meg. Mivel Schwartz-típusú topológiai térelmélettel van dolgunk, nincs előre meghatározott időnk, tehát tetszőleges Cauchy-felület. $\Sigma \subset M$ $\Sigma$

A kóddimenzió egyenlő 1 - gyel, így átvágva kapunk egy határos sokaságot, amelyen a klasszikus dinamikát a Wess-Zumino-Novikov-Witten modell írja le. Witten kimutatta, hogy ezt a megfelelést a kvantummechanika is megőrzi. Ez azt jelenti, hogy a Hilbert állapottér mindig véges dimenziós és azonosítható a -WZW-modell konform blokkjainak a szintjével . A konformális blokkok lokálisan holomorf és antiholomorf faktorok, amelyek szorzatai összeadják a kétdimenziós konformális térelmélet korrelációs függvényeit. $\Sigma$ $M$ $\Sigma$ $G$ $k$

Például, ha , akkor a Hilbert tér egydimenziós, és csak egy állapot van. Amikor az állapotok megfelelnek a Lie algebra affin kiterjesztésének szintjének integrálható reprezentációinak . A Chern-Simons elmélet megoldásához nem szükséges magasabb típusú felületek figyelembevétele. $\Sigma =S^{2}$ $\Sigma =T^{2}$ $k$ $g$

Megfigyelhetőek

A Chern-Simons elméletben a megfigyelések mérőinvariáns operátorok -pontfüggvényei, amelyeket leggyakrabban Wilson -huroknak tekintenek . A Wilson hurok a gyűrű körüli holonómia , a csoport valamilyen reprezentációjában számítva . Mivel a Wilson hurkok termékeit fogjuk figyelembe venni, az ábrázolásokat tekinthetjük irreducibilisnek. $n$ $M$ $R$ $G$

{\displaystyle \langle W_{R}(K)\rangle ={\text{Tr))_{R}\,P\,\exp {i\oint _{K}A))

Itt van a kapcsolat 1-es alakja, a Cauchy-integrál főértékét vesszük, az útvonal mentén rendezett kitevőt. $A$ $P\exp$

Tekintsünk egy linket -ben , amely szétkapcsolt ciklusok halmaza . Különösen érdekes a -pont korrelációs függvény, amely a Wilson-hurkok szorzata a ciklusok körüli alapvető reprezentációban. Ez a korrelációs függvény normalizálható, ha elosztjuk egy 0 pontos függvénnyel (statisztikai összeg ). $L$ $M$ $l$ $l$ $G$ $Z$

Ha egy gömb, akkor az ilyen normalizált függvények arányosak a csomók ismert polinomjaival (invariánsaival). Például a -nál a Chern-Simons elmélet szinttel ad $M$ $G=U(N)$ $k$

{\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))))\times \;{\mbox{HOMFLY polinom))

A HOMFLY-polinomból Jones-polinom lesz . Ebben az esetben a Kauffman-polinomot kapjuk . $N=2$ $SO(N)$

Irodalom

S.-S. Chern és J. Simons, Characteristic forms and geometric invariants , Annals Math. 99 , 48-69 (1974). (Az online eléréshez előfizetés szükséges)
Edward Witten , Quantum Field Theory and the Jones Polynomial , Commun.Math.Phys.121:351,1989.
Edward Witten , Chern-Simons Theory as a String Theory , Prog.Math.133:637-678, 1995.
Marcos Marino, Chern-Simons Theory and Topological Strings , Rev.Mod.Phys.77:675-720, 2005.
Marcos Marino, Chern-Simons elmélet, mátrixmodellek és topológiai húrok (Nemzetközi Fizikai Monográfiák Sorozata), OUP, 2005.
Anton Nazarov, WZW modellek és Chern-Simons elmélet (elérhetetlen link)