Fredholm elmélet

szűkebb értelemben - Fredholm -integrálegyenletek tanulmányozása , tág értelmezésben - Fredholm operátorok spektrálelméletében a Fredholm-operátorok spektrumelméletének módszereinek és eredményeinek halmazát reprezentálva, a Fredholm-magok fogalmát használva egy Hilbert-térben .

A fő fejlesztőről, Erik Ivar Fredholm svéd matematikusról nevezték el .

Homogén egyenletek

Fredholm elméletének nagy része az integrál egyenlet megoldására vonatkozik :

g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy

Azaz a feladat a differenciálegyenlet megoldása:

lg(x)=f(x)

ahol a függvény adott és ismeretlen. Itt van egy lineáris differenciál operátor . Például használhatja az elliptikus operátort : $f$ $g$ $L$ $L$

L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}

ilyen esetben a megoldandó egyenlet Poisson-egyenletté válik . Az ilyen egyenletek megoldásának általános módszere a Green-függvények használata , azaz közvetlen cselekvés nélkül megpróbáljuk megoldani az egyenletet:

LK(x,y)=\delta (xy)

ahol a Dirac delta függvény . További: $\delta(x)$

g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy

Ezt az integrált a Fredholm integrál egyenlet formájában írjuk fel . A függvényt a Green függvénynek vagy az integrál kernelének nevezik . $K(x,y)$

Általános elméletben, és bármely sokasághoz tartozhat ; valós vonal vagy -dimenziós euklideszi tér a legegyszerűbb esetekben. Az általános elmélet gyakran azt is megköveteli, hogy a függvények egy adott függvénytérhez tartozzanak : gyakran a négyzetesen integrálható függvények teréhez vagy a Szobolev-térhez . $x$ $y$ $m$

A ténylegesen használt függvényteret gyakran egy differenciáloperátor sajátérték -problémájának megoldása során határozzák meg; vagyis a megoldások szerint:

L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)

ahol a sajátértékek és a sajátvektorok. A sajátvektorok halmaza egy Banach-teret alkot , ahol pedig létezik a természetes belső szorzat , ott egy Hilbert-teret , amelyre Riesz tétele érvényes . Ilyen terek például az ortogonális polinomok , amelyek a másodrendű közönséges differenciálegyenletek egy osztályának megoldásaként fordulnak elő . $\omega_{n}$ $\psi _{n}(x)$

Adott egy Hilbert szóköz, a rendszermag a következő formában írható:

K(x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n))}

ahol a dual a . Ebben a formában az objektumot gyakran Fredholm operátornak vagy Fredholm kernelnek nevezik . $\psi _{n}^{*}$ $\psi_{n}$ $K(x,y)$

\delta (xy)=\sum _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)

Mivel általában növekszik, az operátor eredő sajátértékei nulla felé csökkennek. $\omega_{n}$ $K(x,y)$

Inhomogén egyenletek

Inhomogén Fredholm integrál egyenlet:

f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy

formálisan így írható:

f=(K-\omega )\phi

Ekkor a formális megoldás:

\phi ={\frac {1}{K-\omega }}f

Az ilyen formájú megoldást rezolvens formalizmusnak nevezzük, ahol a rezolválót operátorként definiáljuk

R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}

A sajátvektorok és sajátértékek adott halmaza egy adott formájú felbontáshoz társítható: $K$

R(\omega ;x,y)=\sum _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n} -\omega }}

megoldással:

\phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy

Egy ilyen megoldás létezésének szükséges és elégséges feltétele Fredholm egyik tétele . Az oldószert általában hatványsorokká bővítik , ebben az esetben Liouville-Neumann sorozatnak nevezik . Ekkor az integrál egyenletet a következőképpen írjuk fel: $\lambda=1/\omega$

g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy

A reszolvenst más formában írják:

R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}

Fredholm meghatározója

A Fredholm -determinánst általában a következőképpen határozzák meg:

\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operátornév {Tr}\,K^{n}\ jobb]

hol , és így tovább. A megfelelő zéta függvény a következő : $\operátornév {Tr}\,K=\int K(x,x)\,dx$ $\operátornév {Tr}\,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy$

\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK))).

A zéta-függvény felfogható a reszolvens meghatározójaként . A zéta függvény fontos szerepet játszik a dinamikus rendszerek tanulmányozásában ; ez ugyanaz az általános típusú zéta-függvény, mint a Riemann-zéta-függvény , azonban a Fredholm-elmélet esetében a megfelelő kernel ismeretlen. Ennek a magnak a létezését Hilbert-Poya sejtésként ismerik .

Fő eredmények

Ennek az elméletnek a klasszikus eredményei a Fredholm-tételek , amelyek közül az egyik a Fredholm-alternatíva .

Az általános elmélet egyik fontos eredménye, hogy a jelzett kernel egy kompakt operátor , ahol a függvények tere az ekvikontinuális függvények tere.

Kiemelkedő ehhez kapcsolódó eredmény az indextétel , amely a kompakt sokaságok elliptikus operátorainak indexére vonatkozik .

Történelem

Fredholm 1903 - ban megjelent cikke az Acta mathematicában az operátorelmélet megalkotásának egyik legfontosabb mérföldköve . David Hilbert kidolgozta a Hilbert-tér fogalmát , többek között a Fredholm-féle integrálegyenletek tanulmányozása kapcsán.

Linkek

E. E. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Mathematica , 27 (1903) pp. 365-390.
DE Edmunds és WD Evans (1987), Spektrális elmélet és differenciáloperátorok, Oxford University Press . ISBN 0-19-853542-2 .
BV Khvedelidze, GL Litvinov (2001), "Fredholm kernel", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Bruce K. Driver, " Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem ", Analysis Tools with Applications , 35. fejezet, pp. 579-600.
Robert C. McOwen, " Fredholm theory of parciális differenciálegyenletek teljes Riemann-féle sokaságon ", Pacific J. Math. 87 , sz. 1 (1980), 169-185.

Irodalom

Shilov G.E. Matematikai elemzés. Különleges tanfolyam. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.