Euler forgatási tétele
Az Euler -féle forgástétel kimondja, hogy egy merev test háromdimenziós térben történő bármely mozgása, amelynek fix pontja van, a test valamely tengely körüli forgása . Így egy elforgatás három koordinátával írható le : a forgástengely két koordinátájával (például szélességi és hosszúsági fok ) és egy elforgatási szöggel.
Adott szög és egységvektor esetén az n vektor irányú elforgatását az óramutató járásával ellentétes irányban a szöggel jelöljük . Akkor:
- az identitás-leképezés bármely
Bármely elforgatáshoz van egyetlen szög , amelyre , míg:
- egyedileg definiált, ha ;
- bármilyen, ;
- az if előjelig egyedileg van definiálva (azaz a forgatások azonosak).
A forgatási csoport geometriája
Az Euler-reprezentáció lehetővé teszi egy háromdimenziós tér forgáscsoportjának topológiájának tanulmányozását ( SO ( 3) csoport ). Ehhez vegyünk egy gömböt , amelynek középpontja a π sugarú koordináták origója.
Bármilyen π-nél kisebb szögben történő elforgatás egyetlen pontot határoz meg a golyón belül (az irány határozza meg a forgástengely irányát, a szög pedig az origótól való távolságot). A π szögben történő elforgatás a gömb felületén két egymással szemben lévő pontnak felel meg.
Így egy olyan golyó, amelynek a gömbnek ellentétes pontja van, homeomorf az SO(3) csoporthoz.