Harcourt tétele

A Harcourt-tétel  egy geometriai képlet a háromszög területének az oldalak hosszának és a háromszög csúcsaitól a beírt kör tetszőleges vonaláig terjedő távolságának függvényében [1] .

A tétel nevét J. Harcourt ír professzorról kapta [2] .

Nyilatkozat

Adjuk meg a háromszöget A , B és C csúcsai , a csúcsokkal szemközti oldalak a , b és c hosszúságúak , területük egyenlő K -vel és az egyenes tetszőleges pontban érinti a háromszögbe írt kört . Jelöljük a háromszög csúcsaitól az egyenesig mért távolságokat a ' , b ' és c '-ként, míg ha a csúcs és a kör középpontja az egyenes ellentétes oldalán fekszik, akkor a távolság negatívnak tekinthető. Akkor

Degenerált eset

Ha az érintővonal tartalmazza a háromszög egyik oldalát, akkor két távolság egyenlő nullával, és a képletet leegyszerűsítjük a háromszög képletre - a terület kétszerese az alap és a magasság szorzata.

Általánosítás

• Ha az egyenes érinti a háromszög A csúcsával ellentétes kört , akkor [3]

• Ha egy x sugarú kör érintőjére, amely koncentrikus a beírt körrel, merőlegeseket ejtünk a háromszög csúcsaiból , akkor [4] .

• Konkrétan, ha x=r , ahol r a beírt kör sugara, akkor Harcourt tétele van .

Dualitás tulajdonság

Ha a', b', c' a beírt kör tetszőleges érintőjének távolsága helyett az oldalak és egy tetszőleges pont közötti távolságokat jelöli, az egyenlőség

igaz marad [5] .

Jegyzetek

1. ↑ Dergiades, Salazar, 2003 , p. 117-124.
2. ↑ G.-M., 1912 , p. 750.
3. ↑ Dergiades, Salazar, 2003 , Thm.3.
4. ↑ Zetel S. I. Háromszög új geometriája. Útmutató tanároknak. 2. kiadás. M.: Uchpedgiz, 1962. Következmény a p. 43.
5. ↑ Whitworth, 2012 , p. tizenegy.

Irodalom

• Nikolaos Dergiades, Juan Carlos Salazar. Harcourt-tétel  // Forum Geometricorum. - 2003. - T. 3 .
• FG-M. Exercises de géométrie: comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues  (neopr.) . - kiadás = 5. - Maison A. Mame et fils (Tours) & J. de Gigord (Párizs), 1912. - (Cours de mathématiques elementres).
• William Allen Whitworth. Trilineáris koordináták és a két dimenzió modern analitikai geometriájának egyéb módszerei . - 2012. - (Forgotten Books (Orig. Deighton, Bell, and Co., 1866).).