Riemann tétele feltételesen konvergens sorozatokról

Riemann feltételesen konvergens sorozattétele a matematikai elemzés olyan tétele, amely kimondja, hogy egy tetszőleges feltételesen konvergens sorozat elemeinek átrendezésével tetszőleges értéket kaphatunk. Ez a tény mutatja a különbséget a feltételes konvergencia és az abszolút konvergencia között : ha egy sorozat abszolút konvergál, akkor az elemeinek permutációjától függetlenül ugyanarra az értékre fog konvergálni (lásd sorozatpermutációs tétel ).

Megfogalmazás

Adjunk meg egy feltételesen konvergáló numerikus sorozatot , akkor tetszőleges szám esetén megváltoztathatjuk a sorozat elemeinek sorrendjét úgy, hogy az új sorozat összege ezzel a számmal egyenlő legyen. Sőt, a sorozat elemeit úgy is átrendezhetjük, hogy a sorozatok összege semmilyen határhoz, végeshez vagy végtelenhez hajlik , vagy egyáltalán nem hajlik. $+\infty$ $-\infty$

Bizonyítás

Készítsünk egy sorozatot a sorozat pozitív elemeiből, és jelöljük azt , és jelöljük a sorozat elemeit . Ennek megfelelően a negatív elemekből álló modulok sorozatát jelöljük . Ezért a sorozatot mint . A feltételesen konvergens és - divergens sorozat tulajdonságai alapján, valamint a sorozat maradékának tulajdonságai alapján az összes maradék és - divergál ezekben a sorozatokban, tetszőleges helyről kezdve, annyi kifejezést gyűjthet össze, hogy hogy összegük bármely számot meghaladja. Ezzel megváltoztatjuk a sorozat feltételeit . Először vegyünk annyi pozitív tagot a sorozatból (sorrendjének megváltoztatása nélkül), hogy összegük meghaladja a : . Mögéjük annyi negatív tagot írunk a sorozatból (sorrendjének megváltoztatása nélkül), hogy a teljes összeg kisebb legyen, mint : . Ez a folyamat mentálisan a végtelenségig folytatódik. Így a sorozat minden tagja egy új sorozatban találkozik majd. Ha minden alkalommal, amikor kiírja a és kifejezéseket , nem ír be többet, mint amennyi az egyenlőtlenséghez szükséges, akkor az új sorozat és a modulo részösszege közötti különbség nem haladja meg az utoljára írt tagot. Mivel a és a feltételesen konvergens sorozatok tulajdonságaiból az új sorozat a -hoz konvergál . ■ $A$ $P$ $P$ $P_{i}(i=1,...,\infty )$ $A$ $K$ $A$ $A=PQ$ $P$ $K$ $P$ $K$ $\Jobb nyíl$ $A$ $S$ $p_{1}+p_{2}+...+p_{k}>S$ $S$ $p_{1}+p_{2}+...+p_{k}-q_{1}-q_{2}-...-q_{m}<S$ $A$ $p$ $q$ $S$ $\lim _{k\to \infty }p_{k}=0$ $\lim _{m\to \infty }q_{m}=0$ $S$