Plancherel tétele

Az oldal jelenlegi verzióját még nem ellenőrizték tapasztalt közreműködők, és jelentősen eltérhet a 2019. július 6-án felülvizsgált verziótól ; az ellenőrzések 4 szerkesztést igényelnek .

Plancherel tétele egy állítás a Fourier-transzformáció tulajdonságairól . Azt állítja, hogy minden olyan függvényhez, amelynek négyzetmodulusa integrálható, létezik és egyedileg meghatározott egy nulla mértékhalmaz értékeiig egy olyan függvény, amely a Fourier-transzformációja. Plancherel 1910-ben bizonyította [1] . Fontos szerepet játszik a funkcionális elemzésben.

Megfogalmazás

Egy valós változó bármely olyan függvényéhez , amely azon függvényhalmazhoz tartozik, amelynek négyzetmodulusa integrálható az intervallumra , létezik a valós változónak egy olyan függvénye , amely szintén az intervallumhoz tartozik , így $f(x)$ $L^{2}$ $\left(-\infty ,\infty \right)$ $g(x)$ $L^{2}$ $\left(-\infty ,\infty \right)$

\lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi } }}\int \limits _{-A}^{A}f(x)e^{iux}dx\right|^{2}du=0

Az egyenletek is érvényesek:

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)\right|^{2}du=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ bal|f(x)\jobb|^{2}dx

és

\lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi } }}\int \limits _{-A}^{A}g(u)e^{-iux}du\right|^{2}dx=0

A függvény , amely a függvény Fourier-transzformációja , egyedileg van definiálva annak értékeiig egy nulla mértékegységen [2] . $g(u)$ $f(x)$

Lásd még

Jegyzetek

↑ Plancherel, Michel & Mittag-Leffler (1910), Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par les intégrales définies , Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo vol. 30 (1): 289–310 .1007 BF03014877
↑ N. Wiener , R. Paley Fourier transzformáció a komplex tartományban. - M., Nauka, 1964. - p. 10-11

Irodalom

C. Bochner Előadások Fourier-integrálokról. - M., Fizmatlit, 1962. - 360 p.