Montel-tétel egy kompakt függvénycsaládról

Montel tétele a holomorf függvénycsalád tömörségi feltételeiről vagy a tömörségi elvről:

Legyen holomorf függvények végtelen családja a komplex sík tartományában ; akkor ahhoz, hogy ez a család prekompakt legyen, vagyis hogy bármely sorozat ki tudjon választani egy olyan részsorozatot, amely egyenletesen lokálisan konvergál belül , szükséges és elégséges, hogy a család lokálisan belül egységesen korlátozott legyen . $\{f_{\alpha }(z)\}$ $D$ $z$ $f_{\alpha _{i))$ $D$ $D$

Montel tételét általánosítjuk a , térbeli tartományokra . $D$ ${\mathbb C}^{n}$ $n>1$

A Montel-tétel az Arzela-Ascoli-tétel következménye , egy analitikus függvény deriváltjaira (Cauchy-egyenlőtlenségre) vonatkozó becslések és bármely tartomány elválaszthatósága -ben . ${\mathbb C}^{n}$

Következmények

A Montel-tétel következménye a következő tény: Ha a tartomány kompaktan fekszik a tartományban , akkor a G-ben holomorf függvények D tartományára vonatkozó restrikciós operátor kompakt (a függvények lokálisan egységes konvergenciájának topológiájában). $D$ $G$
A Montel-tételt a Riemann konformális leképezési tétel bizonyítására használjuk (a szükséges konform leképezést úgy keresik, mint ami egy ponton maximalizálja a derivált modulusát, és egy ilyen leképezés megléte ennek a funkcionálisnak a folytonosságából és a leképezés tömörségéből következik. függvénycsalád értékekkel az egységkörben).