Liouville tétele a Hamilton-Jacobi egyenlet integráljáról

A Hamilton-Jacobi egyenlet integráljára vonatkozó Liouville-tétel állítás a Hamilton-Jacobi egyenlet kvadratúrákban való integrálhatóságának elegendő feltételeiről (egy megoldás létezése elemi függvények és integrálok kombinációja formájában) .

Megfogalmazás

Ha egy holonomikus rendszerben szabadságfokokkal a mozgási energia alakja $s$ $T$

T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}(q_{m}){\pont {q}}_{m}^ {2}

és a potenciális energiának megvan a formája $\Pi$

\Pi ={\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m})

ahol , akkor a Hamilton–Jacobi egyenlet integrálása kvadratúrákhoz vezet (a megoldás ábrázolható elemi függvények és azok integráljainak kombinációjaként). [egy] $f=\sum _{{m=1}}^{{s}}F_{{m}}(q_{{m}})$

Bizonyítás

A tétel feltételeire vonatkozó Hamilton-függvény alakja:

H=T+\Pi ={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}(q_{m}){\pont {q}}_ {m}^{2}+{\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m})=h

Az általánosított momentumok

p_{m}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{m}}}=fA_{m}(q_{m}){\pont {q}} _{m}

Ezt szem előtt tartva a Hamilton-függvény:

H={\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {p_{m}^{2}}{2A_{m}(q_ {m})}}+\Pi _{m}(q_{m})\right]=h

Cseréljük . A Hamilton-Jacobi egyenlet a következő formában jelenik meg : [2] : ${\displaystyle p_{m}={\frac {\partial W}{\partial q_{m))))$

\sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {1}{2A_{m}(q_{m))}}\left({\frac {\partial W}{\ részleges q_{m}}}\jobbra)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})\jobbra]=0

Ennek az egyenletnek a teljes integrálját a következő formában fogjuk keresni:

W=W_{1}(q_{1})+W_{2}(q_{2})+...+W_{s}(q_{s})

A Hamilton-Jacobi egyenlet a következőképpen alakul:

∑ m = egy s [ egy 2 A m ( q m ) ( ∂ W m ∂ q m ) 2 + Π m ( q m ) − h F m ( q m ) ] = 0 ( egy ) {\displaystyle \sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {1}{2A_{m}(q_{m))}}\left({\frac {\partial W_{m} }{\partial q_{m))}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})\right]=0\qquad (1 )}

\sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {1}{2A_{m}(q_{m))}}\left({\frac {\partial W_{m} }{\partial q_{m))}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})\right]=0\qquad (1 )

Az egyenlet bal oldalán minden tag csak egy általánosított koordinátától függ , így a változók szétválasztásának módszere alkalmazható. Ez az egyenlet akkor teljesül, ha mindegyik tag egyenlő egy állandó értékkel: ${\displaystyle q_{m))$

{\frac {1}{2A_{m}(q_{m})}}\left({\frac {\partial W_{m}}{\partial q_{m}}}\right)^{ 2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})=\alpha _{m}

és a feltételnek teljesülnie kell . Az (1) egyenletek mindegyike egy elsőrendű differenciálegyenlet, amelynek integrálása kvadratúrává redukálódik: $\alpha _{1}+\alpha _{2}+...\alpha _{s}=0$

W_{m}=\int {\sqrt {2A_{m}(q_{m})\left[\alpha _{m}+hF_{m}(q_{m})-\Pi _{m }(q_{m})\right]}}dq_{m}

Így a Hamilton-Jacobi egyenlet teljes integrálja egyenlő:

W=\sum _{m=1}^{s}\int {\sqrt {2A_{m}(q_{m})\left[\alpha _{m}+hF_{m}(q_{ m})-\Pi _{m}(q_{m})\right]}}dq_{m}

Ez az integrál tetszőleges állandókat és egy állandót tartalmaz [3] $s$ ${\displaystyle h,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s-1))$ $\alpha _{s}=-(\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{s-1})$

Jegyzetek

↑ Butenin, 1971 , p. 167.
↑ Butenin, 1971 , p. 168.
↑ Butenin, 1971 , p. 169.

Irodalom

Butenin N.V. Bevezetés az analitikai mechanikába. - M. : Nauka, 1971. - 264 p.