Kolmogorov-Hincsin konvergenciatétel

A Kolmogorov - Hincsin konvergenciatétel a valószínűségelméletben definiál egy konvergenciakritériumot egyes valószínűséggel egy végtelen számú valószínűségi változóhoz , és felhasználható a Kolmogorov-kétsoros tétel bizonyítására.

tétel állítása

Feltételezzük, hogy a független valószínűségi változók sorozata, és azon elemi eredmények halmaza, ahol a sorozat egy véges határértékhez konvergál. $\xi _{1},\xi _{2}...$ ${\displaystyle S_{n}=\xi _{1}+\xi _{2}+...+\xi _{n))$ $A$ $\omega$ $\sum \xi _{n}(\omega )$

Első rész

Hadd . Ekkor, ha , akkor a sorozat egyes valószínűséggel konvergál. $M\xi _{n}=0,n\geqslant 1$ $\sum M\xi _{n}^{2}<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

Második rész

Ha ráadásul a valószínűségi változók egyenletesen korlátosak: , akkor fordítva is igaz: a sorozat első része az egyes valószínűségű konvergenciából következik. $\xi _{n},n\geqslant 1$ $P(|\xi _{n}|\leqslant c)=1,c<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{n))$

Bizonyítás

első rész

A sorozat akkor és csak akkor konvergál az egyes valószínűséggel, ha ez a sorozat egyes valószínűséggel alapvető [1] , azaz. $(S_{n}),n\geqslant 1$

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\rightarrow 0,n\rightarrow \infty

(egy)

Kolmogorov egyenlőtlensége miatt :

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=\lim _{n\rightarrow \infty }P\{\max _{1\leqslant k\leqslant N}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\leqslant \lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{k =n}^{n+N}M\xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}={\frac {\sum _{k=n}^{\infty }M\ xi _{k}^{2}}{\varepsilon ^{2}}}

Ezért, ha , akkor az 1. feltétel teljesül , ezért a sorozat egyes valószínűséggel konvergál. $\sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}<\infty$ ${\displaystyle \sum \xi _{k))$

Második rész

Hagyja, hogy a sorozatok konvergáljanak. Ezután az 1. feltétel szerint elég nagyra : ${\displaystyle \sum \xi _{k))$ $n$

P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}<{\frac {1}{2))

(2)

Kolmogorov egyenlőtlensége miatt . ${\displaystyle P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}\geqslant 1-{\frac {(c+\varepsilon )^{2 )){\sum _{k=n}^{\infty }M\xi _{k}^{2))))$

Ezért, ha feltételezzük, hogy , akkor azt kapjuk $\sum _{k=1}^{\infty }M\xi _{k}^{2}=\infty$

$P\{\sup _{k\geqslant 1}|S_{n+k}-S_{n}|\geqslant \varepsilon \}=1$ , ami ellentmond a 2. egyenlőtlenségnek . ${\displaystyle}$

Jegyzetek

↑ Shiryaev, 2004 , p. 370.

Irodalom

Shiryaev A. N. Valószínűség. - 3. kiadás, átdolgozva. és további .. - M . : MTSNMO , 2004. (4. fejezet 2. § 1. szakasz)