Carathéodory-Toeplitz tétel

A Carathéodory-Toeplitz tétel a matematikai elemzés egyik tétele, amelyet Constantin Carathéodory és Otto Toeplitz matematikusokról neveztek el :

Legyen az egységkör az összetett síkban $\Delta :=\{z\,:\,|z|<1\}$ $\mathbb {C} .$

Az összes függvény halmazát pozitív valós résszel és egy kört a jobb oldali félsíkra leképező normalizációval Carathéodory osztálynak nevezzük, és a következővel jelöljük $h(z)$ $\Delta$ $h(0)=1,$ $\Delta$ $C.$

Carathéodory és Toeplitz megoldotta az együtthatórendszer értékkészletének pontos leírását az osztályban. $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n}),$ $n\in \mathbb {N} ,$ $C.$

Az osztály együtthatórendszerének értékkészlete egy dimenziós komplex euklideszi tér pontjainak zárt konvex korlátos halmaza , amelyre a determinánsok $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n}),$ $n\in {\mathbb N}$ $C$ $K_n$ $n$ ${\mathbb C}^{n}$

\det {\{a_{ij}\}_{i,j=0}^{k)),\qquad 1\leqslant k\leqslant n,

ahol

a_{ii}=2,\qquad a_{ij}=\{h\}_{ji},\quad j>i,\qquad a_{ji}={\overline {a_{ij))} ,\quadj<i,

vagy mindegyik pozitív, vagy pozitív egy bizonyos számig, amelyből kiindulva egyenlők nullával. Ez utóbbi eset annak a ténynek felel meg, hogy a pont az együtthatók testének határához tartozik, ennek a testnek minden határpontja csak az osztály egy függvényének felel meg, amely konvex lineáris kombináció formájú. $(\{h\}_{1},\ldots ,\{h\}_{n})$ ${\displaystyle \partial K_{n))$ $K_{n}.$ $C,$

h^{(k)}(z)=\sum _{\nu =1}^{k}\alpha _{\nu }{\frac {1+e^{i\varphi _{\nu }}z}{1-e^{i\,\varphi _{\nu }}z}}

együtthatókkal és és for $\alpha _{\nu },$ $1\leqslant k\leqslant n$ ${\displaystyle \varphi _{\nu }\neq \varphi _{\mu ))$ $\mu \neq \nu ,$ $\mu ,\nu =1,\ldots ,n.$

Lásd még

A Carathéodory-Fejer tétel .

Irodalom

Carathéodory C. Über die Variabilitätsbereich des Fourierschen Konstanten von Positiv Harmonischen Funktion Rendiconti Circ. Mat. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~193-217.
Töplitz O. Über die Fouriersche Entwicklung Positiver Funktionen Rendiconti. Circ. Mat. di~Palermo. 1911. V.~32. P.~191-192.